《离散数学》试题及答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分)
1、下列哪些公式为永真蕴含式( )
(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P?(P?Q)=>?P
答:(1),(4)
2、下列公式中哪些是永真式( )
(1)(┐P?Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P?Q)→P (4)P→(P?Q)
答:(2),(3),(4)
3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式( ) (1)P=>P?Q (2) P?Q=>P (3) P?Q=>P?Q
(4)P?(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P?(P?Q)=>?P
答:(2),(3),(4),(5),(6)
4、公式x((A(x)B(y,x)) z C(y,z))D(x)中,自由变元是( ),
约束变元是( )。
答:x,y, x,z
5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗 (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧!
答:(1) 是,T (2) 是,F (3) 不是
(4) 是,T (5) 不是 (6) 不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答:所有人都不是大学生,有些人不会死
7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校
答:(1) ?Q?P (2) P??Q (3) P??Q (4)?P?Q
8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。
(1) xy(x+y=0) (2)
yx(x+y=0)
答:(1)对任一整数x存在整数 y满足x+y=0(2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0
9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:
(1) xy (xy=y) ( ) (2) xy(x+y=y) ( ) (3) xy(x+y=x) ( ) (4) xy(y=2x) ( )
答:(1) F (2) F (3)F (4)T
10、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真( )
(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立
答:(1)
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是( )。
答:2不是偶数且-3不是负数。
12、永真式的否定是( )
(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
答:(2)
13、公式(?P?Q)?(?P??Q)化简为( ),公式 Q?(P?(P?Q))可化简为( )。
答:?P ,Q?P
14、谓词公式
答:P(x)
x(P(x) yR(y))?Q(x)中量词x的辖域是( )。
yR(y)
15、令R(x):x是实数,Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为( )。
答:?x(R(x)?Q(x))
(集合论部分)
16、设A={a,{a}},下列命题错误的是( )。
(1) {a}?P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}?P(A) (4) {{a}}?P(A)
答:(2)
17、在0( )?之间写上正确的符号。
(1) = (2) ? (3) ? (4) ?
答:(4)
18、若集合S的基数|S|=5,则S的幂集的基数|P(S)|=( )。
答:32
19、设P={x|(x+1)2?4且x?R},Q={x|5?x2+16且x?R},则下列命题哪个正确( )
(1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q
答:(3)
20、下列各集合中,哪几个分别相等( )。
(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c} (5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}
答:A1=A2=A3=A6, A4=A5
21、若A-B=Ф,则下列哪个结论不可能正确( ) (1) A=Ф (2) B=Ф (3) A?B (4) B?A
答:(4)
22、判断下列命题哪个为真( )
(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集
(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B,则A=B
答:(1)
23、判断下列命题哪几个为正确( )
(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}} (4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}
答:(2),(4)
24、判断下列命题哪几个正确( )
(1) 所有空集都不相等 (2) {Ф}?Ф (4) 若A为非空集,则A?A成立。
答:(2)
25、设A∩B=A∩C,A∩B=A∩C,则B( )C。
答:=(等于)
26、判断下列命题哪几个正确( ) (1) 若A∪B=A∪C,则B=C (2) {a,b}={b,a} (3) P(A∩B)?P(A)∩P(B) (P(S)表示S的幂集) (4) 若A为非空集,则A?A∪A成立。
答:(2)
27、A,B,C是三个集合,则下列哪几个推理正确:
(1) A?B,B?C=> A?C (2) A?B,B?C=> A∈B (3) A∈B,B∈C=> A∈C
答:(1)
(二元关系部分)
28、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2},求(1)R (2) R-1 。
答:(1)R={<1,1>,<4,2>} (2) R?1={<1,1>,<2,4>}
29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( )
答:A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么( )
答:自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么( )
答:自反性、反对称性和传递性
32、设S={1,2,3,4},A上的关系R={〈1,2〉,〈2,1〉,〈2,3〉,〈3,4〉} 求(1)R?R (2) R-1 。
答:R?R ={〈1,1〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈2,4〉} R-1 ={〈2,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,3〉}
33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,求R= {( )}。
答:R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=2y},求(1)R (2) R-1 。
答:(1)R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R?1={<1,1>,<2,4>,(36>}
35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2},
求R和R-1的关系矩阵。
?1?0?0答:R的关系矩阵=??0??0??00001000?0??100000??0?? 000100 R?1的关系矩阵=???0????000000??0?0??36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={
(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的,对称的 (4) 传递的
答:(2)
(代数结构部分)
37、设A={2,4,6},A上的二元运算*定义为:a*b=max{a,b},则在独异点中,单位元是( ),零元是( )。
答:2,6
38、设A={3,6,9},A上的二元运算*定义为:a*b=min{a,b},则在独异点中,单位元是( ),零元是( );