第三节 函数的奇偶性与周期性
A组 基础题组
1.下列函数中,值域为R的偶函数是( )
A.y=x+1
2
B.y=e-e
2
x-x
C.y=lg|x| D.y=
答案 C y=x+1是偶函数,值域为[1,+∞),∴A错误; y=e-e是奇函数,∴B错误;
y=lg|x|是偶函数,值域为R,∴C正确;
x
-x
y=的值域为[0,+∞),∴D错误.故选C.
2.(2017北京丰台二模,2)下列函数中,既是偶函数又是(0,+∞)上的增函数的是( )
A.y=-x B.y=2 C.y=
3|x|
D.y=log3(-x)
答案 B 易知A中的函数为奇函数,C、D中的函数的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故选B. 3.(2018北京石景山一模,2)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( )
A.y= B.y=-x C.y=lox
3
D.y=x+
答案 B 由定义可知选项A和C都是非奇非偶函数,可排除.D选项在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,可排除.只有B满足条件,故选B.
4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x+x+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1
D.3
3
2
3
2
3
2
答案 C 解法一:∵f(x)- g(x)=x+x+1,∴f(-x)-g(-x)=-x+x+1,又由题意可知 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
∴f(x)+g(x)=-x+x+1,则f(1)+g(1) =1,故选C.
解法二:令f(x)=x+1,g(x)=-x,显然符合题意,则f(1)+g(1)=1+1-1=1.选C.
2
3
2
3
3
2
5.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3-
x
,则f(x)( )
A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 答案 A 易知函数f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=3-
-x
=-3=-f(x),
x
∴f(x)为奇函数.
又∵y=3在R上是增函数,y=-
x
在R上是增函数,
∴f(x)=3-
x
在R上是增函数.故选A.
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2范围是( )
|a-1|
)>f(-),则a的取值
A. B.∪
C. D.
答案 C ∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-)=f(),∴原不等式可化为f(2
|a-1|
)>f().故有
2
|a-1|
<,即|a-1|<,解得 7.(2018北京西城期末,9)若函数f(x)=x(x+b)是偶函数,则实数b= . 答案 0 解析 函数f(x)=x(x+b)=x+bx,根据二次函数的性质可得函数f(x)的对称轴方程为x=-,因为函数f(x)=x(x+b)是偶函数,所以函数f(x)的对称轴为y轴,所以-=0,则b=0,故答案为0. 2 8.设f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)是奇函数,当x>0时, f(x)=(1)求当x<0时, f(x)的解析式; (2)解不等式f(x)<-. 解析 (1)因为f(x)是奇函数, . 所以当x<0时,-x>0,此时f(x)=-f(-x)=-(2)f(x)<-, =. 当x>0时,<-, 所以<-,所以>,所以3-1<8,解得x<2,所以x∈(0,2); x 当x<0时, -x 2 <-,所以>-, 所以3>3,所以x<-2, 所以原不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2). 9.(2016北京东城期中)已知函数f(x)=(1)求a-b的值; 为奇函数,a,b∈R. (2)若f(x)在区间[-1,m-2]上单调递增,求实数m的取值范围. 解析 (1)令x<0,则-x>0, 则f(-x)=-(-x)+2(-x)=-x-2x. 因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2x,所以a=1,b=2.所以a-b=-1. 2 2 2 (2)由(1)可得f(x)= 故f(x)在区间[-1,1]上单调递增. 若f(x)在区间[-1,m-2]上单调递增, 则应有[-1,m-2]?[-1,1],所以 解得1 B组 提升题组 10.(2017北京朝阳期中)下列函数中,既在定义域上是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的是( ) A.y=x B.y=x+1 2 C.y=-lg|x| 2 D.y=-2 2 2 2 x 答案 C 选项A:记f(x)=x,其定义域为R,∵f(-x)=(-x)=x,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,但y=x在(0,+∞)上单调递增,故A不符合题意. 选项B:记f(x)=x+1,则f(1)=2, f(-1)=0,∵f(-1)≠f(1),∴y=x+1不是偶函数,故B不符合题意. 选项C:记f(x)=-lg|x|,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(-x)=-lg|-x|=-lg|x|,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,当x∈(0,+∞)时,y=-lg x.∵y=lg x在(0,+∞)上单调递增,
北京市2020版高考数学第二章3第三节函数的奇偶性与周期性夯基提能作业本
