北京市朝阳区2024-2024学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷 （理工类）
2024．1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合A?{x?N|1?x?3}，B?{2,3,4,5}，则AUB? A.{2} B.{2,3} C.{2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 2.设复数z满足(1?i)z?2i，则|z|=
A.1 B.2 C.2 D.22 3.执行如图所示的程序框图，若输入的S?12，则输出的S= A.?8 B. ?18 C.5 D.6
4.在平面直角坐标系xOy中，过A(4,4),B(4,0),C(0,4)三点的圆被x轴 截得的弦长为
A.4 B.42 C.2 D.22 5.将函数y?sin2x的图象向右平移?(??0)个单位后，图象经过
输入S n?1 开始 S ?S?2nn ?n?1 S?n?0? 是 否 ?3)，则?的最小值为 点(,32输出S 结束 ????? A. B. C. D.1263616. 设x为实数，则是 “x???2”的 “x?0”xA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
x7.对任意实数x，都有loga(e?3)?1（a?0且a?1），则实数a的取值范围是
A. (0,) B.?1,3? C. (1,3) D.[3,??)
138.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为 A.
3211 B. C. D.
3234第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9.已知数列?an?为等差数列，Sn为其前n项的和.若a1?a3?6，a4?7，则S5?_______. 10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则
uuuruuurAC?DB?____________.
11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．
12.过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A,B两点，分别过A,B作准线l的垂线，垂足分别为C,D.若AF?4BF，则CD?__________________.
13. 2024年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在8?8=64格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？
图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,???,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法， （填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.
若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,???,到达右下角标
D
A
B
C
12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.
35 38 27 16 29 42 55 18 26 15 36 39 54 17 30 43 37 34 13 28 41 32 19 56 14 25 40 33 20 53 44 31 63 12 21 52 24 51 64 9 1 8 57 46 2 5 60 45 7 4 11 62 49 22 47 58 6 3 50 23 10 61 48 59 图（一）
1 A 3 12 图（二） 14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）
在△ABC中，已知A?（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）求BC边上的中线AD的长.
16.（本小题满分13分）
某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表： 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨） 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨） 3?12,cosC?，BC?13. 4131 2 3 4 5 6 7 8 9 A C C C A C A B A 2420 2580 2470 2540 2430 2400 2440 2500 2440 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B A A A B B B A A 2500 2460 2460 2500 2500 2450 2460 2460 2540 （Ⅰ）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机
挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三
个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.
17.（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1?C1C，平面
AC1B1的中点. 11CA?平面BCC1B1，且E,F分别是BC,A（Ⅰ）求证：EF//平面A1C1CA；
（Ⅱ）当侧面A1C1CA是正方形，且BC1?C1C时，
FA1A（ⅰ）求二面角F?BC1?E的大小；
（ⅱ）在线段EF上是否存在点P，使得AP?EF？
若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?xe?xB1BC1ECm(x?1)2(m?0). 2（Ⅰ）当m?0时，求函数f(x)的极小值； （Ⅱ）当m?0时，讨论f(x)的单调性；
（Ⅲ）若函数f(x)在区间???,1?上有且只有一个零点，求m的取值范围.
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