清华附中高三2019年12月月考试卷
数学
一、选择题（共8小题；共40分）
1.已知集合A?{?1,0,1}，B?{x|x?1}，则A?B?0（ ）
A.{?1,1} B.{?1,0,1} C.{x|?1?x?1} D.{x|x?1} 2.设等差数列?an?的前n项的和为Sn，且S13?52，则a4?a3?a9?（ ） A.8 B.12 C.16 D.20 3.若log2a?log1b?2，则有（ ）
22A.a?2b B.b?2a C.a?4b D.b?4a
4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）
正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
5.已知直线x?y?m?0与圆O:x?y?1相交于A，B两点，且V则实数m的值为（ ） OAB为正三角形，
22A.363366 B. C.或? D.或? 222222?2x??a?为奇函数”的（ ） ?1?x?6.“a??1”是“f(x)?ln?A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.函数f(x)?xloga|x|(0?a?1)图象的大致形状是（ ）
|x|A. B. C. D.
8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛
成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号 立定跳远（单位：米） 30秒跳绳（单位：次） 1 1.92 63 2 1.96 3 1.78 75 4 1.76 60 5 1.74 63 6 1.72 72 7 1.80 70 8 1.82 a 9 1.68 b 10 1.60 65 在这10名学生中，进入立定跳远快赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ） A2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 二、填空题（共6小题；共30分） 9.直线y?3x被圆(x?2)2?y2?4截得的弦长为________. 3210.函数f(x)?sin2x的最小正周期是________. 11.在VABC中，?A?2?b，a?3c，则?________. 3c12.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为42，M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段
AC11上，若PM?1，则PQ长度的最小值为________.
13.如图，在等边三角形ABC中，AB?2，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端上的一个动点，则
uuuuruuurAM?BN的最小值是________.
uuuruuuruuur14.已知A，B，C，D四点共面，BC?2，AB?AC?20，CD?3CA，则|BD|的最大值为________.
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三、解答题（共6小题；共80分） 15.（13分）已知数列?bn?，满足b1?4且（1）求证?bn?是单增数列； （2）求数列?bnbn?1??2(n?2). nn?1?1??的前n项和Sn. ?bn?16.（13分）已知函数f(x)?2cosx(sinx?3cosx)?3. （1）求f(x)的单调递增区间；
（2）若f(x)在区间?m,????上的最小值为-2，求m的大值. ?6?17.（14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，VPAD为等边三角形，边长为2，VABC为等腰直角三角形，
AB?BC，AC?1，?DAC?90?，平面PAD?平面ABCD.
（1）证明：AC?平面PAD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
（3）棱PD上是否存在一点E，使得AE∥平面PBC？若存在，求出
PE的值；若不存在，请说明理由. PDx2y2118.（13分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为椭圆C上一动点，
ab2且VPF1F2的面积最大值为3，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程；
（2）设点M?x1,y1?，N?x2,y2?为椭圆C上的两个动点，当x1x2?y1y2为多少时，点O到直线MN的距离为定值.
19.（13分）已知函数f(x)?(?1?a?x)e?x?12ax?a2x，其中a(a?R)为常数. 2（1）当a?0时，求函数f(x)在x?0处的切线方程； （2）若函数f(x)在(0,1)存在极小值，求a的取值范围.
20.（14分）已知?an?是由非负整数组成的无穷数列.对每一个正整数n，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an?1，an?2，…的最小值记为Bn，记dn?An?Bn.
?5?n,1?n?4（1）若数列?an?的通项公式为an??，求数列?dn?的通项公式；
1,n?…5?（2）证明：“数列?an?单调递增”是“?n?N，dn?0”的充要条件；
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北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三第一学期数学12月月考试卷
