= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被1
称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m=
2[(x2+4x+6) + (x2+6x+6)]= x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，
(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2
= (x+2) 2 (x+3)2.
例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.
1我们采用“均值换元法”，设m= [ (x2+x-2)+ (x2+x-12)]=x2+x-7，则
2x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为
(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)
= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).
(3)、换常数
例1 分解因式x2(x+1)-2003×2004x.
分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为
x2(x+1) – m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m2-m)
= x[(x2 -m2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]
= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).
6
例13、分解因式（1）2005x2?(20052?1)x?2005
（2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2 解：（1）设2005=a，则原式=ax2?(a2?1)x?a
=(ax?1)(x?a) =(2005x?1)(x?2005)
（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x2?7x?6)(x2?5x?6)?x2
设x2?5x?6?A，则x2?7x?6?A?2x ∴原式=(A?2x)A?x2=A2?2Ax?x2 =(A?x)2=(x2?6x?6)2
练习13、分解因式（1）(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2)
（2）(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90 （3）(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2
例14、分解因式（1）2x4?x3?6x2?x?2
观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。 22解：原式=x(2x?x?6?1111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6? xxxx1122设x??t，则x?2?t?2
xx∴原式=x2（2t2?2)?t?6?=x22t2?t?10
21????2 =x?2t?5??t?2?=x2?2x??5??x??2?
xx????21????22 =x·x·?2x??5?·?x??2?=2x?5x?2x?2x?1
xx??????????? =(x?1)(2x?1)(x?2)
432（2）x?4x?x?4x?1
2??411??1???2)=x2??x2?2??4?x???1? xxx??x????1122 设x??y，则x?2?y?2
xx解：原式=x(x?4x?1?22 7
∴原式=x2(y2?4y?3)=x2(y?1)(y?3)
11?1)(x??3)=x2?x?1x2?3x?1 xx练习14、（1）6x4?7x3?36x2?7x?6
（2）x4?2x3?x2?1?2(x?x2)
2 =x(x?????
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）x3?3x2?4
解法1——拆项。 解法2——添项。
3232原式=x?1?3x?3 原式=x?3x?4x?4x?4 =(x?1)(x2?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x?2)2 =(x?1)(x?2)2
963（2）x?x?x?3
解：原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)
=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1) =(x?1)(x?x?1?x?1?1) =(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)
练习15、分解因式
34224（1）x?9x?8 （2）(x?1)?(x?1)?(x?1) 42422（3）x?7x?1 （4）x?x?2ax?1?a
222222444（5）x4?y4?(x?y)4 （6）2ab?2ac?2bc?a?b?c
七、待定系数法。
22例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6
=(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x2?3x?4)?(4x?4)
9633363333363263分析：原式的前3项x?xy?6y可以分为(x?3y)(x?2y)，则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)
解：设x?xy?6y?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)
∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴
222222x2?xy?6y2?x?13y?6=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn
8
?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13，解得?
?n?3?mn??6?∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)
例17、（1）当m为何值时，多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式，并分
解此多项式。
（2）如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2，求a?b的值。
（1）分析：前两项可以分解为(x?y)(x?y)，故此多项式分解的形式必
为(x?y?a)(x?y?b)
解：设x2?y2?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)
则x2?y2?mx?5y?6=x2?y2?(a?b)x?(b?a)y?ab
?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得：?b?a?5，解得：?b?3或?b??3
?ab??6?m?1?m??1???∴当m??1时，原多项式可以分解；
当m?1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)； 当m??1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)
32（2）分析：x?ax?bx?8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如x?c的一次二项式。
32解：设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)
3232 则x?ax?bx?8=x?(3?c)x?(2?3c)x?2c
?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14， ?2c?8?c?4??∴a?b=21
22练习17、（1）分解因式x?3xy?10y?x?9y?2
（2）分解因式x?3xy?2y?5x?7y?6
（3） 已知：x?2xy?3y?6x?14y?p能分解成两个一次因式
之积，求常数p并且分解因式。
22（4） k为何值时，x?2xy?ky?3x?5y?2能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。
2222 9
第二部分：习题大全 经典一： 一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式： m-4m= . 3.分解因式： x-4y= __ _____.
2?x?4x?4=___________ ______。 4、分解因式：
2
2
3
5.将x-yn分解因式的结果为(x+y)(x+y)(x-y)，则n的值
2
2
n
为 .
2222x?y?5,xy?6xy?xy2x?2y6、若，则=_________，=__________。
二、选择题
7、多项式15mn?5mn?20mn的公因式是( ) A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
222322232a?3??a?3??a2?9a2?b2??a?b??a?b??A、 B、
3??2m?2m?3?mm?2???a2?4a?5?a?a?4??5m?? C、 D、
10.下列多项式能分解因式的是（ ）
22222
(A)x-y (B)x+1 (C)x+y+y (D)x-4x+4 11．把（x－y）－（y－x）分解因式为（ ） A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（ ）
222
A．10abc＋6ac＋2ac＝2ac（5b＋3c）
222
B．（a－b）－（b－a）＝（a－b）（a－b＋1）
10
2
因式分解的常用方法（方法最全最详细）
