因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
2222
(1) (a+b)(a-b) = a-b -----------a-b=(a+b)(a-b)；
222222
(2) (a±b) = a±2ab+b ---------a±2ab+b=(a±b)；
22333322
(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b---------a+b=(a+b)(a-ab+b)；
22333322
(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b --------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：
2222
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
333222
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca
222222222?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c
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三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：am?an?bm?bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=(am?an)?(bm?bn)
=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！ =(m?n)(a?b)
例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)
2练习：分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：x?y?ax?ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=(x?y)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)
222例4、分解因式：a?2ab?b?c 解：原式=(a?2ab?b)?c =(a?b)?c
=(a?b?c)(a?b?c)
22222练习：分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz
223223综合练习：（1）x?xy?xy?y （2）ax?bx?bx?ax?a?b
222（3）x?6xy?9y?16a?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a 2222（5）a?2a?a?9 （6）4ax?4ay?bx?by
43222222222222 2
（7）x2?2xy?xz?yz?y2 （8）a?2a?b?2b?2ab?1 （9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)
22a?b?c?3abc （11）（12）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
333思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.
2解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。 于是??9?8a为完全平方数，a?1
2例5、分解因式：x?5x?6
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
2解：x?5x?6=x?(2?3)x?2?3 1 3
2 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
2例6、分解因式：x?7x?6
解：原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1
=(x?1)(x?6) 1 -6
（-1）+（-6）= -7
222练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5
222练习6、分解因式(1)x?x?2 (2)y?2y?15 (3)x?10x?24
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2（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c 条件：（1）a?a1a2 a1 c1
（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1 分解结果：ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)
2例7、分解因式：3x?11x?10
分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11
解：3x?11x?10=(x?2)(3x?5)
练习7、分解因式：（1）5x?7x?6 （2）3x?7x?2
2 （3）10x?17x?3 （4）?6y2?11y?10
（三）二次项系数为1的齐次多项式
22222b 例8、分解因式：a?8ab?128分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b 8b+(-16b)= -8b
282=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) 解：a?8ab?12b =(a?8b)(a?16b)
练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2
(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、2x?7xy?6y 例10、xy?3xy?2 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2)
22练习9、分解因式：（1）15x?7xy?4y （2）ax?6ax?8
222222222222 4
综合练习10、（1）8x?7x?1 （2）12x2?11xy?15y2 （3）(x?y)2?3(x?y)?10 （4）(a?b)2?4a?4b?3
63m?4mn?4n?3m?6n?2 （5）x2y2?5x2y?6x2 （6）
（7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3（8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2 （9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2
思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc
五、换元法。
22(1)、换单项式
例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.
分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m，则x6= m2，原式变形为
m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.
(2)、换多项式
例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.
分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2
= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2
= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为
m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2
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因式分解的常用方法（方法最全最详细）
