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f?(x) f(x) + 递增 0 极大值 — 递减 0 极小值 + 递增 又因为f(?1)?3?a?0，f(0)?a?0，f(1)?a?3?0，
f(2)?a?0，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，0?x2<1，选C.
二、填空题 11. 22 12. 【解析】
1 13.2 14. ?cos??2 15. 3 2b2?c2?a232?12?a21??,解得a?22 11.由余弦定理cosA?2bc2?3?1312.不等式组表示的可行域如图所示，故面积为13.由题意可知，f(1,1)?1，f(1,2)?0，
11?1?1? 22f(2,2)?f(1?1,2)?2(f(1,2)?f(1,1))?2(0?1)?2
14. 圆C的直角坐标方程为x??2?2?y2?2，故圆心C为
?2，0，
?过圆心且与OC垂直的直线为x?2，转为极坐标方程为?cos??2。
D C 15.依题意知Rt?ABC,?CAB?30,AB?4,则BC?2,AC?23, S?ABC?
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.解：（1）已知函数即f(x)?1?11ABCE?ACBC,代入解得CE?3。 22A O E B
1sin2x, ……………………………2分 2?T?2???… ………………………………………………………………………3分 23?3??2k?(k?Z)时，即x??k?(k?Z)，…………………………4分 当2x?2411f(x)min?1??(?1)?…………………………………………………………6分
22（2）f(?x111??x?????)?1?sin?2(?)??1?sin??x??1?cosx……………8分 42222?42??2?----
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sinx34?，sin2x?cos2x?1，解得：cosx??…………………10分 cosx45?4x?(0,),cosx?0?cosx? ………………………………………………11分
25?x17所以f(?)?1?cosx? ………………………………………………12分
4225由tanx?17.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60?（2）设第三组的乘客为a,b,c,d，第四组的乘客为1，2；
“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A.………………………………………5分
所得基本事件共有15种，即：
8?32人.……4分 15ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12 ……………………………8分
其中事件A包含基本事件a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2，共8种，………………10分 由古典概型可得P(A)?8， ……………………………………………………12分 15D
E
C
18.解：（1）取AB1中点Q，连接PQ，
则PQ为中位线，PQ//1A1B1，………………2分 2而正方体ABCD-A1B1C1D1故DE//E是棱CD上中点， ，
A
B
1A1B1，……………………………………4分 2P
Q D1
C1
?PQ//DE，所以四边形PQDE为平行四边形。
?PD//QE， ……………………………………6分
而QE?面AB1E，PD?面AB1E，
A1
B1
故PD//面AB1E………………………………………………………………………8分 （2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1?面ABE，故BB1为高，BB1?2………10分
?CD//AB ?S?ABE?S?ABC?故VB?AB1E?VB1?ABE19.解：（1）
11AB?BC??2?2?2………………………12分 2214?BB1?S?ABC?………14分 33an?Sn?2………………………………………………1分
?n?1时，a1?S1?2a1?2,?a1?1………………………2分
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n?2时，an?Sn?2，an?1?Sn?1?2………………………3分
两式相减得：
an?an?i?(Sn?Sn?1)?an?an?i?an?0，
an1?，………5分 an?121??an?是以a1?1为首项，为公比的等比数列. ………………6分
21?an?()n?1………………………………………………………7分
2?1?(2) f(n)?log1an?log1??2?22?12n?11?n?1，则bn?f(n?1)an?1?n()n，…………9分 23?1??1??1?Tn?1????2????3?????2??2??2?1?1??1??1?Tn?1????2????3????2?2??2??2?23234?1??n??① ?2??1??n????2?4n?1n②…………………10分 nn?111?1??1??1?①-②得：Tn???????????22?2??2??2??1??1?????n????2??2?……………11分 1?1?n1?2??2?1?1?2n?n?1n?1n?1n?1??1??1???n????1?n?n????1?(1?)???22?2??2??2??? …………………………………………13分 ?1??Tn?2?(2?n)???……14分
?2?20．（1）解：依题意，A(a,0),B(0,b)，AB?a2?b2，k?b?0b1???? 0?aa2?b1?a?2,整理得 ? ………………………………2分
?a2?b2?5.?解得 a?2，b?1． ………………………………3分
x2?y2?1． ………………………4分 所以 椭圆的方程为4x21?y2?1，消去y，（2）证明：由于l//AB，设直线l的方程为y??x?m，将其代入 42----
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整理得2x?4mx?4m?4?0． ………6分
设C(x1,y1)，D(x2,y2)．
22???16m2?32(m2?1)?0,?所以 ?x1?x2?2m, ………8分
?2?x1x2?2m?2.证法一：记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．
由M(2m,0)，N(0,m)， 则S1?S2?11?|2m|?|y1|??|m|?|x2|?|2y1|?|x2|………………10分 22因为 x1?x2?2m， 所以 |2y1|?|2?(?1x1?m)|?|?x1?2m|?|x2|， ………………………13分 2从而S1?S2． ………………………………………………14分 证法二：记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．
则S1?S2?|MC|?|ND|?线段CD,MN的中点重合． ………………10分 因为 x1?x2?2m，
x1?x2y?y1x?x1?m，12???12?m?m． 222221故线段CD的中点为(m,m)．
2所以
因为 M(2m,0)，N(0,m)， 所以 线段MN的中点坐标亦为(m,1m)． ………………………………13分 2从而S1?S2． ………………………………………………………14分 21.解：（1）y?h(x)的定义域为(0,??)………………………………………………1分
h?(x)?1(2x?1)(x?1)?2x?1??，…………………………………………2分 xx故x?(0,1)h?(x)?0,h(x)单调递增；
x?(1,??)h?(x)?0,h(x)单调递减，………………………………………3分
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x?1时，h(x)取得极大值h(1)?0，无极小值。……………………………4分
2（2）h(x)?lnx?a(x?x)，h?(x)?1?a(2x?1)， x若函数y?h(x)在[1,??)上单调递增， 则h?(x)?1?a(2x?1)?0对x?1恒成立…………………………………5分 x1111a?()max………………6分 ，只需2a?x??22x?x2x?1x(2x?1)2x?xx?1时，2x2?x?1，则0??1?1?1，………………7分 ?1，?2?2?2x?x?max2x?x故a?1，a的取值范围为1,???………………………………………………8分 （3）假设存在，不妨设0?x1?x2，
?x1f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2x2…………………………9分 k???x1?x2x1?x2x1?x2lnf?(x0)?12?…………………………………10分 x0x1?x2xx12(1?1)lnx12(x1?x2)x2?k?f(x)xln??…11分 2，整理得由0得2?x1x2x1?x2?1x1?x2x1?x2x2令t?x12(t?1)(0?t?1)，…………………12分 ，u(t)?lnt?x2t?1(t?1)2u?(t)??0 2t(t?1)?u(t)在(0,1)上单调递增，…………………………………13分 ?u(t)?u(1)?0，故k?f?(x0)
?不存在符合题意的两点。…………………………………………………………14分
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惠州市2014届高三第一次调研考试试题文科数学与答案
