this course will help you gain the ideas, owledge and skills you need to write fundraising copy that produces more impressive and profitable results.2.2.1 综合法和分析法
学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．综合法
定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 2．分析法 定义 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法 思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ [提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
思考2: 综合法与分析法有什么区别？
[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( ) (3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( ) [答案] (1)× (2)× (3) ×
2．命题“对于任意角θ，cos θ－sin θ＝cos 2 θ”的证明：“cos θ－sin θ＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)＝cos θ－sin θ＝cos 2 θ”，其过程应用了
( )
A．分析法
1
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
推证过程 特点 P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3顺推证法→…→Qn?Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论) 或由因导果法 框图表示 特点 逆推证法或执 果索因法 this course will help you gain the ideas, owledge and skills you need to write fundraising copy that produces more impressive and profitable results.B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法
B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．] 3．要证明A＞B，若用作差比较法，只要证明________． [解析] 要证A＞B，只要证A－B＞0. [答案] A－B＞0 4．将下面用分析法证明
a2＋b2
2
≥ab的步骤补充完整：要证
a2＋b2
2
≥ab，只需证a＋
2
b2≥2ab，也就是证________，
即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立.
【导学号：31062143】
[解析] 用分析法证明
2
2
a2＋b2
2
≥ab的步骤为：要证
2
a2＋b2
2
2
≥ab成立，只需证a＋b≥2ab，
22
也就是证a＋b－2ab≥0，即证(a－b)≥0.由于(a－b)≥0显然成立，所以原不等式成立．
[答案] a＋b－2ab≥0 (a－b)≥0 (a－b)≥0
[合 作 探 究·攻 重 难]
2
2
2
2
综合法的应用 11 (1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：＋≥4.
ab(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B－(2c－b)sin C.
π①求证：A的大小为；
3
②若sin B＋sin C＝3，证明△ABC为等边三角形． [解] (1)法一：∵a，b是正数且a＋b＝1， 1
∴a＋b≥2ab，∴ab≤，
211a＋b1∴＋＝＝≥4.
ababab法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab>0， 1
ab
1＋≥2
1
ab>0，
2
this course will help you gain the ideas, owledge and skills you need to write fundraising copy that produces more impressive and profitable results.∴(a＋b)??11?a＋b???
≥4.
又a＋b＝1， ∴11
a＋b≥4.
法三：1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1
≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号． (2)①由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2
＝(2b－c)b＋(2c－b)c， 即bc＝b2
＋c2
－a2
，
所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝1
2
，
所以A＝π
3
.
②因为A＋B＋C＝180°， 所以B＋C＝180°－60°＝120°， 由sin B＋sin C＝3， 得sin B＋sin(120°－B)＝3，
sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 33
2sin B＋2cos B＝3， 即sin(B＋30°)＝1.
因为0°＜B＜120°，所以30°＜B＋30°＜150°， 所以B＋30°＝90°，B＝60°， 所以A＝B＝C＝60°， 即△ABC为等边三角形． [规律方法] 综合法的解题步骤
3
2024年秋高中数学第二章推理与证明2-2直接证明与间接证明2-2-1综合法和分析法学案新人教A版选修2-2
