第1课时 二次根式的概念
1．了解二次根式的概念；(重点)
2．理解二次根式有意义的条件；(重点)
3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)
一、情境导入
1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？
2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？
大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！ 二、合作探究
探究点一：二次根式的概念 【类型一】 二次根式的识别
(2015·安顺期末)下列各式：①
其中二次根式的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.
方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“
”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．
132＋y2；④－5；⑤ ；②2x；③x5，2
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 二次根式有意义的条件
代数式
x＋1
有意义，则x的取值范围是( ) x－1
A．x≥－1且x≠1 B．x≠1 C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1
解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.
方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非
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负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二：利用二次根式的非负性求值
【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知a，b满足2a＋8＋|b－1|＝0，求2a－b的值； (2)已知实数a，b满足a＝b－2＋2－b＋3，求a，b的值． 解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．
??2a＋8＝0，
解：(1)由题意知?得2a＝－8，b＝1，则2a－b＝－9；
?b－1＝0，???b－2≥0，
(2)由题意知?解得b＝2.所以a＝0＋0＋3＝3.
?2－b≥0，?
方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a和
－a时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a＝0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当x＝________时，3x＋2＋3的值最小，最小值为________． 解析：由二次根式的非负性知3x＋2≥0，∴当
2
3x＋2＝0即x＝－3时，3x＋2＋3
2
的值最小，此时最小值为3.故答案为－3，3.
方法总结：对于二次根式a≥0(a≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计
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本节课的内容是在我们已学过的平
方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件
第2课时 二次根式的性质
1．理解和掌握(a)2＝a(a≥0)和a2＝|a|；(重点)
2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)
一、情境导入
如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是3，则面积是多少？ 如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是a，则面积是多少？你会计算吗？
二、合作探究
探究点一：利用二次根式的性质进行计算
【类型一】 利用(a)2＝a(a≥0)计算 计算： (1)(0.3)2; (2)(－13)2； (3)(23)2; (4)(2x－y)2.
解析：(1)可直接运用(a)2＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2＝a2b2，再利用(a)2＝a(a≥0)进行计算．
解：(1)(0.3)2＝0.3；
(2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13； (3)(23)2＝22×(3)2＝12；
(4)(2x－y)2＝22×(x－y)2＝4(x－y)＝4x－4y.
方法总结：形如(nm)2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为n2·(m)2(m≥0)后再化简．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用a2＝|a|计算 计算： (1)22； (2)
2（－3）2； (3)－（－π）2.
解析：利用a2＝|a|进行计算． 解：(1)22＝2； (2)222（－3）2＝|－3|＝3；
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(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.
方法总结：a2＝|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 【类型三】 利用二次根式的性质化简求值 先化简，再求值：a＋1＋2a＋a2，其中a＝－2或3. 解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．
解：a＋1＋2a＋a2＝a＋（a＋1）2＝a＋|a＋1|，当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.
方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 探究点二：利用二次根式的性质进行化简 【类型一】 与数轴的综合
如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2a2－（a－b）2＋（a＋b）2.
解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据a2＝|a|进行化简．
解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则a－b＜0，a＋b＜0.原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.
方法总结：利用a2＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 与三角形三边关系的综合
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋
（c－b－a）2.
解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.
方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简．
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变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计
二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用
第1课时 二次根式的乘法
1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)
2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)
一、情境导入
小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？
二、合作探究
探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件
式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是( ) A．x≤2 B．x≥－1
C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2
??x＋1≥0，
解析：根据题意得?解得－1≤x≤2.故选C.
2－x≥0.??
方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
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2024-2024新沪科版八年级数学下册教学设计教案含教学反思
