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uuuruuurPD??2,0,?2 即PD是平面PAB的一个法向量，
uuurruuurrPD?n?23??rr?∴cosPD,n?uuu
3PD?n23??由图知二面角A?PB?C为钝角，所以它的余弦值为?3 319. （12分）
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状
态下生产的零件的尺寸服从正态分布N??，?2?．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在???3?，??3??之外的零件数，求P?X≥1?及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在???3?，??3??之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：
（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1161?16222?x?x?x?16x经计算得x??xi?9.97，s????i?i??0.212，其中xi为16i?116?i?1?i?1?16L，16． 抽取的第i个零件的尺寸，i?1，2，?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计 用样本平均数x作为?的估计值???3??，???3???之外的数据，用剩下值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除??的数据估计?和?（精确到0.01）． 附：若随机变量Z服从正态分布N??，?
0.997416?0.9592，0.008?0.09．
2?,则P???3??Z???3???0.9974．
??3??之内的概率为0.9974，落在（1）由题可知尺寸落在???3?，???3?，??3??之外的概率为0.0026．
0P?X?0??C16?1?0.9974?0.997416?0.9592
0P?X?1??1?P?X?0??1?0.9592?0.0408 0.0026? 由题可知X~B?16，?E?X??16?0.0026?0.0416
??3??之外的概率为0.0026， （2）（i）尺寸落在???3?，??3??之外为小概率事件， 由正态分布知尺寸落在???3?，因此上述监控生产过程的方法合理． （ii）
??3??9.97?3?0.212?9.334 ??3??9.97?3?0.212?10.606
??3????9.334，10.606? ???3?，.
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10.606?，?需对当天的生产过程检查． Q9.22??9.334， 因此剔除9.22 剔除数据之后：??29.97?16?9.22?10.02．
1522222222?2?[?9.95?10.02???10.12?10.02???9.96?10.02???9.96?10.02???10.01?10.02?2??9.92?10.02???9.98?10.02???10.04?10.02???10.26?10.02???9.91?10.02?2222??10.13?10.02???10.02?10.02???10.04?10.02???10.05?10.02???9.95?10.02?]??0.008 ???0.008?0.09
20. （12分）
??3?3?x2y21，1P0，1P?1，P1，????????已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?，四点P，，，123??4??22ab????中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程；
2115（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为?1，证明：l过定点．
（1）根据椭圆对称性，必过P3、P4
PP4三点 又P4横坐标为1，椭圆必不过P1，所以过P2，3，?3?1?，P3??1，?将P2?0，??代入椭圆方程得 2???1?b2?1?，解得a2?4，b2?1 ?3?1?1?2?4b2?ax2∴椭圆C的方程为：?y2?1．
4（2）①当斜率不存在时，设l:x?m，A?m，yA?，B?m，?yA? yA?1?yA?1?2????1 mmm得m?2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l∶y?kx?b?b?1? kP2A?kP2B?A?x1，y1?，B?x2，y2?
?y?kx?b222联立?2，整理得?1?4k?x?8kbx?4b?4?0 2?x?4y?4?0?8kb4b2?4x1?x2?，x1?x2?
1?4k21?4k2y1?1y2?1x2?kx1?b??x2?x1?kx2?b??x1k?k???则P2A P2Bx1x2x1x2.
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8kb2?8k?8kb2?8kb1?4k2?
4b2?41?4k2?8k?b?1?4?b?1??b?1???1，又b?1
?b??2k?1，此时???64k，存在k使得??0成立．
∴直线l的方程为y?kx?2k?1 当x?2时，y??1 所以l过定点?2，?1?．
21. （12分）
2xx已知函数f?x??ae??a?2?e?x．
（1）讨论f?x?的单调性；
（2）若f?x?有两个零点，求a的取值范围．
2xx（1）由于f?x??ae??a?2?e?x
2xxxx故f??x??2ae??a?2?e?1??ae?1??2e?1?
①当a?0时，aex?1?0，2ex?1?0．从而f??x??0恒成立． f?x?在R上单调递减
②当a?0时，令f??x??0，从而aex?1?0，得x??lna．
x ???，?lna? ?lna ? ??lna，??? ? f′?x? 0 极小值 f?x? 单调减 单调增 综上，当a?0时，f(x)在R上单调递减；
当a?0时，f(x)在(??,?lna)上单调递减，在(?lna,??)上单调递增
（2）由（1）知，
当a?0时，f?x?在R上单调减，故f?x?在R上至多一个零点，不满足条件． 当a?0时，fmin?f??lna??1?令g?a??1?1?lna． a1?lna． a111???上单调令g?a??1??lna?a?0?，则g'?a??2??0．从而g?a?在?0，aaa增，而g?1??0．故当0?a?1时，g?a??0．当a?1时g?a??0．当a?1时g?a??0
若a?1，则fmin?1?不满足条件． 若a?1，则fmin?1?条件．
1?lna?g?a??0，故f?x??0恒成立，从而f?x?无零点，a1?lna?0，故f?x??0仅有一个实根x??lna?0，不满足a.
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1aa2?lna?0，注意到?lna?0．f??1??2??1??0． aeee1?3??lna?上有一个实根，而又ln??1??ln??lna． 故f?x?在??1，a?a?若0?a?1，则fmin?1?且
?3??3???1??ln??1??3?ln??3??a??a?f?ln(?1)??e?a?2??ln??1??a?e???a??a????3??3??3??3????1???3?a?a?2??ln??1????1??ln??1??0． ?a??a??a??a?ln?故f?x?在??lna，???3???1??上有一个实根． ?a???lna?上单调减，在??lna，???单调增，故f?x?在R上至多两又f?x?在???，个实根．
?lna?及??lna，ln?又f?x?在??1，???3???1??上均至少有一个实数根，故f?x?在Ra???上恰有两个实根．
综上，0?a?1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参考方程]
?x?3cos?，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），直线l的参数
y?sin?，??x?a?4t，方程为?（t为参数）．
y?1?t，?（1）若a??1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a． （1）a??1时，直线l的方程为x?4y?3?0．
x2曲线C的标准方程是?y2?1，
921??x?4y?3?0x???x?3???25联立方程?x2，解得：或， ??2y?024??y???y?1?9?25??2124?则C与l交点坐标是?3，0?和??，?
?2525?（2）直线l一般式方程是x?4y?4?a?0． 设曲线C上点p?3cos?，sin??． 则P到l距离d?3cos??4sin??4?a17?5sin??????4?a17，其中tan??3． 4依题意得：dmax?17，解得a??16或a?8
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2017全国卷1理科数学试题解析版(详细解析版)
