长春市实验中学
2018-2019学年上学期阶段测试
高三数学（理）试卷
三．选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 答案 A
四．填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上
2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 B 8 C 9 C 10 B 11 C 12 C 2913.2314．2 15．1016.2
四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19．(本题共12分)
?1sin(x?)??mxxx311262解：（1）f(x)＝3sin cos ＋cos＋m＝sin x＋cos x＋＋m＝
222222
5?5??1,0)sin(?)??m?01662因为f(x)的图象过点6，所以，解得m＝－.
2
(sin(x?所以f(x)＝
?6，由π＋2kπ≤x＋π≤3π＋2kπ，k∈Z，得3262
)??2k??x?2k??4?3k∈Z.
?4???2k??,2k????33??，k∈Z. 故f(x)的单调递减区间是
（2）由（1）得f(x)＝31
sin x＋cos x. 22
所以
?t0sin(x???3?3?2?sin(t?)?)dx?cos(x?)|t0?cos(t?)?(0?t?)6232663===
20．(本题共12分)
解：（1）由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件， 6193151
故该厂生产一等品概率为P1＝＝，二等品概率为P2＝＝，三等品概率为P3＝＝. 3053010302
（2）由题意得：Z的可能取值为2、3、4、5、6、8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互独立的，故：
111133
P (Z＝2)＝×＝，P(Z＝3)＝2××＝，
22421010339111
P(Z＝4)＝×＝，P(Z＝5)＝2××＝，
1010100255313111
P(Z＝6)＝2××＝，P(Z＝8)＝×＝.
105255525∴Z的分布列为
Z P
139131
∴E(Z)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋8×＝3.8.
4101005252519.（本小题满分12分）
解：（1）取AD的中点为O，连接PO,CO，
∵?PAD为等边三角形，∴PO?AD.
底面ABCD中,可得四边形ABCO为矩形，∴CO?AD， ∵POICO?O， ∴AD?平面POC， ∵PC?平面POC，∴AD?PC. 又AD//BC,所以AD?PC.
（2）由面PAD?面ABCD,PO?AD知，∴PO?平面ABCD，
2 1 43 3 104 9 1005 1 56 3 258 1 25OP,OD,OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30?， 即?CPO?30o
由AD?2,知PO?3,得CO?1.
uuuruuuruuur分别以OC,OD,OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O?xyz，
则P(0,0,3),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,?1,0)，
uuuruuuruuurBC?(0,1,0),PC?(1,0,?3),CD?(?1,1,0)
r设平面PBC的法向量为n?(x,y,z).
?r?y?0∴?.则n?(3,0,1)， ??x?3z?0ur设平面PDC的法向量为m?(x,y,z).
?r?x?y?0∴?.则n?(3,3,1)，
x?3z?0??urruruurm?n427rr?cosm,n?u?，
7|m||n|27∴由图可知二面角A?SB?C的余弦值?20.（本小题满分12分）
2y?4x的焦点为(1,0)， 解：（1）抛物线
27. 7|PF2|?xp?1?F2(1,0)52222xp?yp?6P(,6)3，∴3，∴333，∴，
，
又，∴
F1(?1,0)∴
|PF1|?|PF2|?75??422233，∴a?2，又∵c?1，∴b?a?c?3，
x2y2??13∴椭圆方程是：4．
（2）设MN中点为
D(x0,y0)，因为以TM、TN为邻边的四边形是菱形，则TD?MN，
设直线MN的方程为x?my?1，
?x?my?1,?2?xy2?1,22??(3m?4)y?6my?9?0，∵F2在椭圆内，∴??0恒成立， 43?联立整理得
y1?y2??6m?3m4y?x?my?1?0003m2?4，∴3m2?4，∴3m2?4，∴kTD?kMN??1，即
∴
?3m3m2?4??m114t?t?(0,)?t2223m?4?(4,??)m?03m?443m2?4，整理得，∵，∴，∴，所以t的
1(0,)4． 取值范围是
21．(本题共12分)
2
解：（1）函数φ(x)＝x－－ln x的定义域为(0，＋∞)．
x
21x2?x?21?2?x2xx=φ′(x)＝
22因为x?0x?x?2?0恒成立，所以函数φ′(x)恒为正，函数φ(x)的单调递增区间
是(0，＋∞)．无递减区间
xln x
（2）∵x≥e，∴xln x≥ax－a?a≤.
x－1
x－ln x－1xln x
令p(x)＝，x∈[e，＋∞)，则p′(x)＝. x－1?x－1?21
∵当x≥e时，(x－ln x－1)′＝1－>0，
x∴函数y＝x－ln x－1在[e，＋∞)上是增函数， ∴x－ln x－1≥e－ln e－1＝e－2>0，p′(x)>0， ∴p(x)在[e，＋∞)上是增函数，
ee
∴p(x)的最小值为p(e)＝，∴a≤. e－1e－1
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(本题共10分) 解：（1）曲线
C1?x?1?的普通方程为
2?y2?3，
x?x???02??x?2x0?y?yuuuruuuur?0??x0,y0???x,y?y?2y0??2， ????2??设，，由于，因此，即
?x??y?22??1?????3Cx?2?y?12C??2221????又点?在上，，的普通方程为．
C1的极坐标方程为??2?cos??2?0，将
222???3代入，可得??2，因此?的极坐标
（2）曲线
????2,?为?3?；
曲线
C22??4?cos??8?0，将的极坐标方程为
???3代入，可得??4，因此?的极坐标为
????4,??3?．
所以
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
???4?2?2．
解：（1）当a?3时，
?4?2x,x?1?f?x???2,1?x?3?2x?4,x?3?．
当x?1时，由4?2x?4可得0?x?1；当1?x?3时，2?4恒成立； 当x?3时，由2x?4?4可得3?x?4．因此（2）当
f?x??4的解集为，
?x0?x?4?．
f?x??x?a?x?1??x?a???x?1??2x?a?1?x?a??x?1??0时，f?x??2x?a?1；当?x?a??x?1??0时，f?x??2x?a?1．…
?x?a??x?1??0的解集为?，则??2,1???，故a??2，
???,?2?．
记不等式
所以a的取值范围为
吉林省长春市实验中学2019届高三上学期开学考试数学（理）试卷（含答案）
