课题1 任意角
一、教学目标
（一） 知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与象限角的概念. （二） 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合 （三）情感与态度目标
1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
二、教学重点：任意角概念的理解；终边相同的角的集合的表示 三、教学难点：终边相同角的集合的表示 四、教学过程 （一）引入
1、回顾角的定义（在初中我们学习过角，那么请同学们回忆一下角的概念） 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 2、讨论实际生活中出现一系列关于角的问题
一只手表慢了5分钟，另外一只快了5分钟，你是怎么校准的？校准后，两种情况下分针旋转形成的角一样的吗？
那么我们怎样才能准确的描述这些角呢？这就不仅需要我们知道角的形成结果，还要知道角的形成过程。（今天同学们就跟着老师一起来学习角的新知识） （二）新课讲解：
1．角的有关概念：(在原来初中学习的角的概念基础上，我们重新给了角一个定义) （1）角的定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
一条射线绕着它的端点0，从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB是角α的始边、终边
始边 B 终边 O A
顶点
（2）角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角 (3)注意：
①为了简单起见，在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ②零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ③角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
（4）练习：老师举一些例子让同学说出角α、β、γ各是多少度?
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
②课堂练习，初步理解象限角
在直角坐标系中，下列各角的始边与x轴的非负半轴重合，请指出它们是第几象限的角
⑴ 30°； ⑵ -120°； ⑶ 180°； 3．终边相同的角
讨论：对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系呢？ （1）终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α +
k·360° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k∈Z
⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 4、例题精讲
例1．在0°到360°范围内，找出与－950°12＇角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
例2．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 例3．写出终边在y?x上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
五、课堂小结
①与角相关的概念； ②象限角；
③终边相同的角的表示方法； 六、课后作业：
①教材P5练习第1-5题； ②预习弧度制 七、板书设计
课题2 任意角的三角函数
一、教学目标：
1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
二、教学重点：三角函数的定义；
三、教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的三角函数表示出来 四、教学过程 （一）复习引入
在初中，我们已经学过锐角三角函数，它是在直角三角形中进行定义的，知道它们都是以锐角为自变量，以直角三角形三边的比值为函数值的函数。
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 如图,设锐角?的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一
象限.在?的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r?a2?b2?0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.
则sin??
tan??MPb?; OPrYP(a,b)?MPb?. OMaOMx
思考1：对于确定的角?，这三个比值是否会随点P在?的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?
根据相似三角形的知识，对于确定的角?，三个比值不以点P在?的终边上的位置的改变而改变大小.我们就可以得到一个结论，确定的角α，它的三角函数值是确定的。 思考 2：我们能不能用直角坐标系中的点来表示三角函数？
我们可以将点P取在使线段OP的长r?1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
sin??MPOMMPb?b; cos???a; tan???. OPOPOMa思考3：还有那些点可以用它的横纵坐标来表示三角函数值呢?
在引进弧度制时，我们用到了半径等于单位长度的圆，在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.上述P点就是?的终边与单位圆的交点, 锐角?的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.
（二）新课讲解
1.任意角的三角函数的定义
结合上述锐角?的三角函数值的求法, 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.
如图,设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
(1)y叫做?的正弦(sine),记做sin?, 即 sin??y；
（2）x叫做?的余弦(cossine),记做cos?,
即cos??x； （3）
P(x,y)Y?OA(1,0)xy叫做?的正切(tangent),记做tan?, xy即tan??(x?0).
x说明:(1)当???2?k?(k?Z)时，?的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于y无意义。 x0，所以tan??(2)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数. 2.练习利用定义求角的三角函数值 例1
例2．已知角?的终边过点P0(?3,?4)，求角?的正弦,余弦和正切值。
思考：如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？
得出规律：三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离，即可求出三角函数值。 五、课堂小结
任意角的三角函数 六、布置作业
练习1、2、3、4 七、板书设计
课题3 同角三角函数的基本关系
一、教学目标：
1、掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法；
2、会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行化简、求值及恒等式证明； 3、培养学生观察发现能力，提高分析问题能力、逻辑推理能力．增强数形结合的思想、创新意识 。
二、教学重点：同角三角函数的基本关系式推导及其应用
三、教学难点：同角三角函数的基本关系式与变式的灵活运用 四、教学过程 （一）引入
1、什么是三角函数？
正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
问题：数学中很多量之间都具有特定的联系，比如直角三角形的勾股定理。那么三角函数之间是否也具有某种关系呢？
2、探究活动： sin30?=？ ， cos30?=？ ， sin30??cos30?? ？
22sin45?=？ ， cos45?=？ ， sin245??cos245??？
3、由上情况初步得出什么结论？
（二）新课讲解
1. 同角三角函数之间的关系
三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,现在我们还是利用直角坐标系中的单位圆来探讨同一个角不同三角函数之间的关系。
如图:以正弦线MP,余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且
OP?1.由勾股定理由MP2?OM2?1,因此x2?y2?1,即sin2??cos2??1.显然，
当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。根据三角函数的定义,当
?sin?a?k??(k?Z)时,有?tan?.
2cos? y P 1
M O A(1,0 x
通过上面一系列的推证，我们可以得到，同一个角?的正弦、余弦的平方和
人教版高中数学必修四教师资格试讲教案全套
