第32练 双曲线的渐近线和离心率问题
[题型分析·高考展望] 双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.
体验高考
1.(2015·四川)过双曲线
x2－
y2
＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线3
于A，B两点，则|AB|等于( ) 43A. B.23 C.6 D.43
3答案 D
解析 设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝±3x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线
x2－
y2
＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝23
代入得y＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝43. x2y22.(2016·天津)已知双曲线－2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆
4b与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
x23y2x24y2x2y2x2y2
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 444344412答案 D
b
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，
2x2＋y2＝4，??联立?b
y＝x，??2
??解得???y＝x＝
4
，4＋b22b4＋b2
??x＝或???y＝
，4＋b2－2b4＋b2
，－4
42b??，即第一象限的交点为??.
4＋b2??4＋b2
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为＝2b，得b2＝12.
x2y2
故双曲线的方程为－＝1.故选D.
412
x2x22
2
3.(2016·浙江)已知椭圆C1：2＋y＝1(m＞1)与双曲线C2：2－y＝1(n＞0)的焦点重合，e1，
mne2分别为C1，C2的离心率，则( ) A.m＞n且e1e2＞1 C.m＜n且e1e2＞1 答案 A
解析 由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2， 又∵m＞0，n＞0，故m＞n. 又∵e2e21·2＝
m2－1n2＋1n2＋1n2＋1
·2＝2·2 m2nn＋2n
B.m＞n且e1e2＜1 D.m＜n且e1e2＜1
8×4b84b
，，故
4＋b24＋b24＋b2
n4＋2n2＋11
＝4＝1＋4＞1，∴e1·e2＞1. 2
n＋2nn＋2n2
4.(2015·上海)已知点P和Q横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和 C2，若C1的渐近线为y＝±3x，则C2的渐近线方程为____________. 3答案 y＝±x
2
解析 设点P和Q的坐标为(x，y)，(x0，y0)，
??x＝x0，则有?又因为C1的渐近线方程为y＝±3x，
?y＝2y0，?
故设C1的方程为3x2－y2＝λ，
2把点坐标代入，可得3x20－4y0＝λ，
令λ＝0?3x±2y＝0， 即为曲线C2的渐近线方程， 3则y＝±x.
2
x22
5.(2015·北京)已知双曲线2－y＝1(a＞0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝________.
a答案
3 3
解析 直接求解双曲线的渐近线并比较系数.
x22x
双曲线2－y＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为3x＋y＝0，即y＝－3x，因为a>0，
aa13所以＝3，所以a＝.
a3
高考必会题型
题型一 双曲线的渐近线问题
例1 (1)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－
3a
，则的值为( ) 2b
2339323
A.－ B.－ C.－ D.－
27223答案 B
?y＝1－x，?解析 双曲线ax2＋by2＝1的渐近线方程可表示为ax2＋by2＝0，由?2得(a＋b)x2
2??ax＋by＝0
－2bx＋b＝0，
2b
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
a＋b
2a
y1＋y2＝，所以原点和线段AB中点的直线的斜率
a＋by1＋y2
2y1＋y2a3k＝＝＝＝－，
2x1＋x2x1＋x2b
2故选B.
x22
(2)如图，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，
aAF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).
①求双曲线C的方程；
高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题7 解析几何 第32练 含答案
