初中数学竞赛辅导资料（50）
基本对称式
甲内容提要
1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本
对称式.
2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.
例如x2+y2, x3+y3, (2x－5)(2y－5), －
22yx
?……都是含两个变量?， xy3x3y的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：
x2+y2＝（x+y）2－2xy， x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，
(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25, －
22（2x?y)?=－, 3x3y3xyyxy2?x2(x?y)2?2xy?==.
xyxyxy
3. 设x+y=m, xy=n.
则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；
x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn； x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；
x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2； ………
一般地，xn+yn(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：
－－
xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk1+yk1) (k 为正整数).
4. 含x, y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式. 乙例题
例1.
已知x=
11(3+1), y=（3－ 求下列代数式的值： 1）22 ①x3+x2y+xy2+y3 ； ②x2 (2y+3)+y2(2x+3).
解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示. ∴先求出 x+y=3, xy=
1. 213 2① x3+x2y+xy2+y3 ＝（x+y）3－2xy(x+y)
=(3)3－2×=23；
② x2 (2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2
=3(x2+y2)+2xy(x+y) =3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)
2=3［（3）－2?11）2×223
＝3－6.
例2.
?x3?y3?35①解方程组?
?x?y?5②分析：可由 x3+y3, x+y 求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y. 解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y) ③
把①和②代入③，得 35＝53－15xy. ∴xy=6.
?x?y?5解方程组?
xy?6?得??x?2?x?3 或?.
?y?3?y?23例3. 化简
20?142＋320?142.
3解：设320?142＝x, 20?142=y.
那么 x3+y3=40, xy=3400－196?2=2. ∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，
∴ 40＝（x+y）3－6（x＋y）.
设x+y=u,
得 u3－6u－40=0 . (u－4)(u2+4u+10)=0.
∵u2+4u+10=0 没有实数根， ∴u－4＝0, u＝4 .
∴x+y=4.
即 例4.
320?142＋320?142＝4.
a取什么值时，方程x2－ax+a－2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？
解：设方程两根为x1, x2 . 根据韦达定理，
得 ??x1?x2?a
?x1x2?a?2∵x1?x2?(x1?x2)2＝（x1?x2)2?4x1x2＝a2?4a?8
＝(a?2)2?4，
∴当a=2时，x1?x2 有最小值是2.
丙练习50
1. 已知 x－y=a, xy=b. 则x2+y2=______ ； x3－y3=______. 2. 若x+y=1, x2+y2=2. 则 x3+y3=_______； x5+y5=______. 3. 如果 x+y=－2k, xy=4,
xy??3. 则 k=_____. yx4. 已知x+5. 若x?111=4, 那么x－=____ ， x2?2=＿＿＿. xxx1x.＝a, 那么x+
11=______, x2?2=＿＿＿. xx.
6. 已知：a=
12－3, b=
12?3求： ①7a2+11ab+7b2 ； ②a3+b3－a2－b2－3ab+1. 7. 已知x?1x2?1
＝8，则＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）
xx1=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛) 3a8. 已知 a2+a－1=0 则a3－
9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛） 10. 化简： ①32＋5＋32－5； ②352＋7－352－7. 11. 已知：α，β是方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根.
22c求证：α2（bβ+c）+β2(bα+c)=－.
a
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-50
