高二数学暑假自主学习单元检测七
数列与不等式
一、填空题：本大题共
14 题，每小题 5 分，共 70 分．
1． a1， b1，c1， a2， b2， c2 均为非零实数，不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解集分别为 集
合 和 ，那么“ a1
M N
2．数列 1 ,2 ,3 ,4 1111 2 a2
b1 b2
c1 M=N c2 ”是“ ”的
条件．
的前 n 项和为
．
4 8 16
3．已知不等式 x2 则
(a 1)x a 0 的解集为 A，不等式 x2－ 4x＋3≤0的解集为 B，且 A
B， 实数 a 的取值范围是
．
4．已知－ 1＜ a+b＜ 3 且 2＜ a－ b＜ 4，则 2a+3b 的取值范围 5．不等式 x2－ | x－ 1| －1≤0的解集为 ____________ ． 6．数列
．
1 1
2
,
2
1
, 的前 n 项和为 , ,
2 3 n n 1
1
．
7．若 y =lg ［ mx+2（ m+1） x+9m+4］对任意 x∈R 恒有意义，则实数 m的范围为
．
2
8．关于 x 的不等式 x x 2 0， 的整数解的集合为 { － 2} ，则实数 k 的取值范 2 x 2 （2k 5） x 5k 0
围
．
9．若正数 a， b 满足 ab＝a＋ b＋ 3，则 ab 的取值范围是 _______． 10．如果函数 y
ax 2 bx a 的图象与 x 轴有两个交点，下图中能表示点（
b 轴）的为
a，b）在 aOb平
面上的区域（不包含边界及
． . b b
b b
Oa
O
a
O
a
O
a
A B C D
11． Cn0 3Cn1 5Cn2 (2 n 1)C nn
．
12．在数列 { a } 中， a ＝ 2， a ＝ a ＋ ln
1＋ 1 ，则 a ＝ ________．
n
1
n＋ 1
n
n
13．若对任意 x∈a R，不等式 |x| ≥ ax 恒成立，则实数
的取值范围是 ____________ ．
14．求和： Sn
1 3x 5x2
7 x3
( x
(2n 1)x1)
n 1．
二、解答题：本大题共
6 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． ( 本小题满分 14 分 )
已知 x＞ y＞ 0 且 xy ＝ 1，求 x 2 y2
的最小值及此时 x， y 的值．
x y
16． ( 本小题满分 14 分 )
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 吨、硝酸盐 18 吨，产生的利润为 10 000 元；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 吨、硝酸盐 15 吨，产生的利润为 5 000 元。现有库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨，在此基础上进行生产，问如何安排生产才能使得该厂获得的利润最大？．
4 1
17． ( 本小题满分 14 分 )
在各项均为正数的等比数列中，若
a5 a6 9,求 log 3 a1 log 3 a2
log 3 a10 的值．
18． ( 本小题满分 16 分 )
1
前 n 项和为 Sn，且 210 S30 (210
设正项等比数列 { an} 的首项 a1=
1)S20 S10 0
2
(1) 求 { an} 的通项； (2) 求{ nSn} 的前 n 项和为 Tn．
19． ( 本小题满分 16 分)
数列 { an } 中， a1 8 ， a3 4 且满足 an 2 （1）求数列 { an} 的通项公式； （ 2）设 Sn
2an 1 an ， n N * ． | a1 | | a2 | L b2 L bn (
| an | ，求 Sn ； n N * ) ，是否存在最大的
（ 3）设 bn
1 ( n
n(12 an )
N * ) ， Tn b1
整数 m ，使得对任意 n
N * ，均有 Tn
m 成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明
32
理由．
20． ( 本小题满分 16 分)
aan
n 2
如果无穷数列
an 满足下列条件：① an 1 ；②存在实数 M ，使 an
M ．
2
其中 n N ，那么我们称数列 an
为 数列．
（ 1）设数列 bn 的通项为 bn
5n 2n ，且是 数列，求 M 的取值范围；
（ 2）设 c 是各项为正数的等比数列， S 是其前项和， c3
1 7
n
n
, S3
, 证明：数列
4
4
是 数列；
（ 3）设数列 d n 是各项均为正整数的 数列，求证： dn dn 1 ．
S n
高二数学暑假自主学习单元检测七参考答案
一、填空题：
1．答案：既不充分又不必要条件
解析：若
a1
a2
b1
b2
c1 ＝－ 1 时， M≠ N；若 a1＞ 0，a2＞ c2
0，且 ＝ ＝ 时，
a1
a2
M N
b1 b2 c1
c2 不一定成立．所以是既不充分又不必要条件．
2．答案：
n2 n 1 2n 2 1
1
解析：因为 an n 2 n ，所以
sn
(1
1
) (2
1
4
n) (
) (3 1)
(n
2
(1 2 3
1
8
1 8
1 2 4
12
1 ) 2n
n ) （分组）
前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此
1 2 (1
1
n(n 1) 2
2 n
)
n 2 n 2
1 2
1 1 2
n
1．
3．答案： 1≤ ≤3 解析： ＝ [1,3] ，由 ，得 ＝(1, ) ，所以， 1≤ ≤3．
a B
913
4．答案：－ ＜ 2a+3b＜
A B
A
a
a
解析：设 2a+3b=x（ a+b） +y（ a－ b），
2
2
∴
x x
y 2， y 3.
解得
x 5 ，
2
y
－2＜－
1
1 2
5 ＜ 5 （ a+b）＜ 15 ， ∴－
2 2 2
（ a － ）＜－ 1.
2
b
∴－＜（ +）－（ － ）＜
2 2 2 2
a b
a
95
1
13 ，即－ 9 ＜
＜ 13 ．
2a+3b
b
2
2 ∴ =1；
5．答案：{ | －2≤ ≤1} 解析：当 －1≥0时，原不等式化为
2－ ≤0，解得 0≤ ≤1.
x x x x x x x
当 x－ 1＜ 0 时，原不等式化为 x2+x－2≤0，解得－ 2≤ x≤1. ∴－ 2≤ x＜ 1. 综上，－ 2≤ x≤1．
6．答案：
n 1 1
解析：设 an
1 n 1
n
n 1
n
（裂项）
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