2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位
置上。 1．函数y?3sin(2x?【答案】π
2π2π
【解析】T＝| |＝| |＝π．
ω2
2．设z?(2?i)（i为虚数单位），则复数z的模为 ． 【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝
＝5．
2?4)的最小正周期为 ．
x2y2??1的两条渐近线的方程为 ． 3．双曲线169【答案】y??3x 4x2y29x23??0，得y??【解析】令：??x． 1691644．集合{?1,0,1}共有 个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ． 【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员 甲 乙 第一次 87 第二次 91 第三次 90 第四次 89 第五次 93 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x?289?90?91?88?92?90．
5(89?90)2?(90?90)2?(91?90)2?(88?90)2?(92?90)2?2． 方差为：S?57．现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m?7，n?9）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为 ．
【答案】
20 634?520． ?7?963【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的概率为
8．如图，在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F?ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2，则V1:V2? ． 【答案】1：24
【解析】三棱锥F?ADE与三棱锥A1?ABC的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥A1?ABC与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之比为1：3．所以，三棱锥F?ADE与三棱柱
C1
B1
A1 F E A D
C
B
A1B1C1?ABC的体积之比为1：24．
29．抛物线y?x在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界) ．若点P(x,y)是区域D内的任意一点，则x?2y的取值范围是 ． 1【答案】[—2， ]
2
1z2【解析】抛物线y?x在x?1处的切线易得为y＝2x—1，令z＝x?2y，y＝— x＋ ．
2211
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点( ，0)时，zmax＝ ．
22
y y＝2x—1 O x 1y＝— x
210．设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点，AD?
12AB，BE?BC， 23若DE??1AB??2AC（?1，?2为实数），则?1??2的值为 ． 1
【答案】
2
【解析】DE?DB?BE?1212AB?BC?AB?(BA?AC) 2323
12??AB?AC??1AB??2AC
63所以，?1??121
，?2?，?1??2? ．
263211．已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x?0时，f(x)?x?4x，则不等式f(x)?x 的解集用区间表示为 ．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出f(x)?x?4x (x?0)的图像，如下图所示。由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式f(x)?x，表示函数y＝f(x)的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
y P(5,5) y＝x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5)
2y＝x x2y212．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)，右焦点为
abF，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离
为d2，若d2?【答案】
6d1，则椭圆C的离心率为 ．
l a c F x 3 3y B b O a2a2b2【解析】如图，l：x＝，d2＝－c＝，
cccb2bc由等面积得：d1＝。若d2?6d1，则
ca＝
6bc，整理得：a26a2?ab?6b2?0，两边同除以：a2，得：
263b?b??b??b?，所以，离心率为：e?1????． 6??????6?0，解之得：＝3a3a???a??a?
13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y?
1
（x?0）图象上一动点， x
若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 ． 【答案】1或10 【解析】
14．在正项等比数列{an}中，a5?1，a6?a7?3，则满足a1?a2???an?a1a2?an的 2最大正整数n的值为 ． 【答案】12
1??a1q4?【解析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，则：?2??a1q5(1?q)?3q＝2，an
－
＝26n．记
1
，得：a1＝ ，
32
(n?1)n2n?1Tn?a1?a2???an?，?n?a1a2?an?22．Tn??n，521211n?n?5222n?1?2则52n?(n?1)n2，化简得：2?1?2n，当n?1211n?n?5时，2213?121?12．当n＝12时，T12??12，当n＝13时，T13??13，故nmax＝12． 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知a＝(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，0??????．
（1）若|a?b|?2，求证：a?b；
（2）设c?(0,1)，若a?b?c，求?,?的值． 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0， 所以，a?b．
?cos??cos??0（2）??sin??sin??1所以，α－β＝
①1，①2＋②2得：cos(α－β)＝－ ．
2②22?，α＝?＋β， 33
带入②得：sin(
32?1
cosβ＋ sinβ＝sin(＋β)＝1， ?＋β)＋sinβ＝2233??＋β＝． 325??所以，α＝，β＝．
66所以，
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥S?ABC中，平面SAB?平面SBC，AB?BC，AS?AB，过A作AF?SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG//平面ABC；
S
（2）BC?SA．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB， G E 所以F为SB的中点． F 又E，G分别为SA，SC的中点， C
A 所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB?面SBC，AC?面ABC， 所以，平面EFG//平面ABC． B （2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF?平面ASB，AF⊥SB． 所以，AF⊥平面SBC． 又BC?平面SBC， 所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A， 所以，BC⊥平面SAB． 又SA?平面SAB， 所以，BC?SA．
17．（本小题满分14分）
y 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4． 设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线， 求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐 标a的取值范围． 解：（1）联立：?O A l x ?y?x?1，得圆心为：C(3，2)．
?y?2x?4设切线为：y?kx?3，
d＝
|3k?3?2|1?k23?r?1，得：k?0ork??．
4
2013江苏高考数学含答案
