第一章：Monte Carlo方法概述
讲课人：Xaero Chang | 课程主页: http://macro2.org/notes/intro2mc
本章主要概述Monte Carlo的一些基础知识，另外包括一个最简单的用Monte Carlo方法计算数值积分的例子。
一、Monte Carlo历史渊源
Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和Simulation有细微区别。单独的Simulation只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。
历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo方法广为流传。
十一、Monte Carlo方法适用用途 （一）数值积分
计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。
数值积分简单示例
如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)（蓝色曲线）与x轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。
Monte Carlo数值积分方法和上述类似。差别在于，Monte Carlo方法中，我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的面积累加后计算平均值就够了。通过相关数学知识可以证明，随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。
在金融产品定价中，我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。考虑一个欧式期权，假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布（理论模型中一般是正态分布），那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即可。
（五）随机最优化
Monte Carlo在随机最优化中的应用包括：模拟退火(Simulated Annealing)、进化策略(Evolution strategy)等等。一个最简单的例子是，已知某函数，我们要求此函数的最大值，那么我们可以不断地在该函数定义域上随机取点，然后用得到的最大的点作为此函数的最大值。这个例子实质也是随机数值积分，它等价于求此函数的无穷阶范数（-Norm）在定义域上的积分。
由于在金融产品定价中，这部分内容用的相对较不常见，所以此课程就不介绍随机最优化方法了。
十二、Monte Carlo形式与一般步骤 （一）积分形式
做Monte Carlo时，求解积分的一般形式是：
X为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x的概率密度。在计算欧式期权例子中，x为期权到期日股票价格，由于我们计算期权价格的时候该期权还没有到期，所以此时x是不确定的（是一随机变量），我们按照相应的理论，假设x的概率密度为ψ(x)、最高可能股价为x1(可以是正无穷）、最低可能股价为x0（可以是0），另外，期权收益是到期日股票价格x和期权行权价格的函数，我们用f(x)来表示期权收益。
（二）一般步骤
我将Monte Carlo分为三加一个步骤：
1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)
由于随机数性质，每次生成的x的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x赋予下标。如xi表示生成的第i个x。生成了多少个x，就可以计算出多少个f(x)的值
2．将这些f(x)的值累加，并求平均值
例如我们共生成了N个x，这个步骤用数学式子表达就是
3．到达停止条件后退出
常用的停止条件有两种，一种是设定最多生成N个x，数量达到后即退出，另一种是检测计算结果与真实结果之间的误差，当这一误差小到某个范围之内时退出。
有趣的类比：积分表达式中的积分符合类比为上式中累加符号，dx类比为1/N（数学知识告诉我们积分实质是极限意义下的累加；f(x)还是它自己，积分中的ψ(x)可类比为依据ψ(x)生成随机数
4．误差分析
Monte Carlo方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。在本课程中我们假定此方法收敛，同时得到的结果服从正态分布，因此可以直接用样本方差作区间估计。详细过程在例子中解释。
这个步骤的理论意义很重要，但在实际应用中，它的重要性有所淡化，倘若你的老板不太懂这些知识，你报告计算结果时可以只告诉他点估计即可。
注意，前两大步骤还可以继续细分，例如某些教科书上的五大步骤就是将此处的前两步细分成四步。
十三、最简单的例子
举个例子:
计算从函数从0到2的定积分值。
=6.38905609893065 。
数学方法：我们已知的原函数是，那么定积分值就是：计算这个数值可以在Matlab中输入代码：
exp(2)-exp(0)
上面得到的值是此不定积分的真实值。
常规数值积分：在区间内取N个点，计算各个点上的函数值，然后用函数值乘以每个区间宽度，最后相加。Matlab代码：
N=100;x=linspace(0,2,N);sum(exp(x).*2/N)
试着调大N的值，你会发现，最后的结果将更接近真实值。
Monte Carlo数值积分法：在内随机取N个点，计算各个点上的函数值，最后求这些函数值的平均值再乘以2（为何要乘以2在后面小节详细讲）。看Matlab代码：
N=100;x=unifrnd(0,2,N,1);mean(2*exp(x))
同样的，通过增大N，这种方法得到的结果也将越来越接近真实值。
解释
这个例子要求的积分形式是：， 还不完全是形式，我们先做变
换，，这里是f(x)；1/2是ψ(x)，它表示，在取值范围(0,2)区间内，x服从均匀分布。
前一例子共三条语句，逐句解释如下：
N=100;
设定停止条件，共做N次Monte Carlo模拟。 x=unifrnd(0,2,N,1);
按照(0,2)区间均匀分布概率密度对x随机抽样，共抽取N个xi。此句相当于第一个步骤中的前半部分。
mean(2*exp(x))
2*exp(x)作用是对每个xi计算f(xi)的值,共可得到N个值，这个相当于第一个步骤后半部分；Mean()函数的作用是将所有的f(xi)加起来取平均值，相当于第二个步骤。
这段代码中的停止条件隐含于N值设定中，它一次性生成N个x值，完成此次计算后整个程序就结束了。
十四、Monte Carlo方法的优点
对比前面常规数值积分和Monte Carlo数值积分代码，同样数量的N值——也就意味这几乎相同的计算量——常规数值积分结果的精确度要高于Monte Carlo数值积分的结果。那么，我们为何还需要用Monte Carlo来算数值积分呢？
答案的关键在于，常规数值积分的精度直接取决于每个维度上取点数量，维度增加了，但是每个维度上要取的点却不能减少。在多重积分中，随着被积函数维度增加，需要计算的
函数值数量以指数速度递增。例如在一重积分中，只要沿着x轴取N个点；
要达到相同大小的精确度，在s重积分
中，仍然需要在每个维度上取N个点，s个纬度的坐标相组合，共需要计算Ns个坐标对应的f()函数值。取点越多，会占用计算机大量内存，也需要更长运算时间，最终导致这种计算方法不可行！
Monte Carlo方法却不同，不管是积分有多少重，取N个点计算的结果精确度都差不多。因此，即使在一重积分的情形下，Monte Carlo方法的效率比不过常规数值积分，但随着积分维度增加，常规数值积分的速度呈指数下降，Monte Carlo方法的效率却基本不变。经验表明，当积分重数达到4重积分甚至更高时，Monte Carlo方法将远远优于常规数值积分方法。
现在回到金融产品定价，欧式期权理论定价公式只需要一重积分，此时Monte Carlo方法的效果不明显，但是如果我们考虑一个亚式期权：期限为1年期，期权价格基于此1年内每天某个时点时的价格，全年共252个交易日，这样此亚式期权理论定价公式是一个252
252
重积分。常规的数值积分方法，需要取N个点，这个数有多大，你自己去计算一下就知道了（注意：N取值要远远大于2），常规数值积分方法不可行，只能用Monte Carlo。
综上，如果计算高维度多重积分，如路径依赖的exotic options（奇异期权）等金融产品定价，我们一般用的方法都是Monte Carlo。
十五、Monte Carlo方法原理(选读)
Monte Carlo方法计算的结果收敛的理论依据来自于大数定律，且结果渐进地（Asymptotically）服从正态分布的理论依据是中心极限定理。
以上两个属性都是渐进性质，要进行很多次抽样，此属性才会比较好地显示出来，如果Monte Carlo计算结果的某些高阶距存在，即使抽样数量不太多，这些渐进属性也可以很快地达到。
这些原理在理论上意义重大，但由于我们一般遇上的Monte Carlo问题都是收敛的、结果也都是渐进正态分布，所以工作中使用时可以不加考虑。
详细推导见相关书籍。
第二章：随机数的生成
讲课人：Xaero Chang | 课程主页: http://macro2.org/notes/intro2mc
本章第一节会简要复习随机变量的一些概念，但学习本章最好要有一定的数学基础。第二节主要介绍如何生成一维概率分布的随机数，第三节介绍如何生成高维分布的随机数。最后略提及伪随机数问题的应对策略。
由前文可知，Monte Carlo积分解决的问题形如，f(x)值只需由x值决定，因此此处最重要的就是如何生成服从ψ(x)概率分布的随机数。可以说，正确生成随机数，Monte Carlo方法就做完了一半。
一、随机变量基本概念 （一）随机变量
现实世界中有很多可以用数字来衡量的事物，站在当前时间点来看，它们在未来时刻的值是不确定的。例如，我们掷一骰子，在它停稳前，我们不可能知道掷出多少点（传说中的赌王除外，哈哈）；例如某只股票在明天的股价，没有人能准确知晓第二天股票的价格（不然他就发惨了！）。但是，我们却可以描述这些事物未来各种值的可能性。
（二）离散型随机变量
离散型随机变量最重要的是分布律，即每个取值的概率是多少。例如掷骰子，我们认为扔出任何一个点的概率都是1/6。那么掷骰子得到的点数的分布律如下表： 骰子点数 1 2 3 4 5 6 概率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 （三）连续性随机变量 连续型随机变量有两个重要的概念。概率密度函数(PDF)和累积概率分布函数(CDF)，具体定义见数学书籍。
PDF函数本身不是概率，只有对x的某段区间中的PDF积分得到的数值才有概率的含义。CDF是概率的意思，点x上CDF的值表示该随机变量可能取值小于x的概率的大小。
如图是正态分布的PDF和CDF
蒙特卡罗算法与matlab(精品教程)
