高效学习数学篇
1、基础知识篇
翻开数学、理综课本，打开目录，将考试大纲里面要求的考点一个不漏的标出来。
从第一个考点开始，在脑中冥想(姿势随意哈，可以趴桌子上睡觉的，其实有时候貌似我在上课睡觉，其实我在思考，如果很清晰，OK，看下一个。
如果很陌生，不知所云，恭喜你，你找到了一个可以提高至少5分的点！幸福吧？赶快翻课本，把那个点誓死砸实！明白？很重要很重要，就算你和老师闹翻了脸，也要将这一步进行下去！
一个点一个点的往下来，并且不断的回忆之前的点，反复轮回至少5编，那么，恭喜，你数学、理综基本知识绝对没问题了。
还没完，继续打开目录，思考各个点之间的联系，能想起来多少是多少。2、思维导图篇画一张思维导图。
怎么画呢？先确定一个模块，比如函数，把它作为一级关键词；由函数我们可能想到它包含了函数的概念、函数的基本性质、基本初等函数、函数的应用、导数及其应用以及与函数相关的内容(如映射、三角函数、数列等)，我们把这些称为二级关键词；再分别由这些二级关键词联想到后面的内容，这样一直分解下去，直到不能再分解为止，我们把最后的关键词称为基本关键词。
在基本关键词后面分析有哪些基本题型，然后再分析这些基本题型可以用什么基本方法予以解决。都把它列出来。如下图所示：
这个图不仅是让我们复习了整个知识，同时还让我们整理了所有解题思路。
这样就等于我们站在函数的整个高度，审视了函数模块的全部内容(考点)与题型及其解法。以后看到试题时，只要找到与此相应的关键词，就可以得到一般解题方法。
例如：(2012年重庆高考试题理科第21题)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn?1?a2Sn?a1，其中
a2?0.
(I)求证：{an}是首项为1的等比数列；
(II)若a2??1，求证：Sn?n(a1?an)，并给出等号成立的充要条件.2关键词与方法联想：Sn?1?a2Sn?a1(这是无限个式子哦)、a2?0(估计a2就是公比)、首项为1(要求出a1?1,需要用赋值法，令n?1)、等比数列(要证等比数列，一是需要考察an与an?1的比值，于是要先写出an与an?1,故应该把Sn?1?a2Sn?a1变式后相减，二是可用数学归纳法，证出an为公比的n?1次)、
a2??1(由(1)得a2是公比，先考虑a2?1时的情况)、Sn?n(a1?an)(证明不等式，一是可考虑求构造函2数求最值，由于是a2是变量，故函数自变量为a2；二是考虑缩放法，先考虑特殊情况n?1,2,3找一下规律；三是考虑用数学归纳法；四是找出一个一般的不等式，然后叠加)、充要条件(正反两个方面考虑命题是否成立)
证明：(I)【法一作商法】?Sn?1?a2Sn?a1,?a1?a2?a2a1?a1,?a2?0,?a1?1,?由题设Sn?1?a2Sn?a1a2?a2a1①得Sn?a2Sn?1?a1②①②?得an?1?a2an,?a2?0,?an?0?an?1?a2， an综上所述{an}是首项为1以a2为公比的等比数列
【法二数学归纳法】当n?1时，a1?a2?a2a1?a1，?a2?0,?a1?1, 又假设当n?k成立，即ak?a1a2k?1a2?a2(公比)a1?a2k?1当n?k?1时ak?1?Sk?1?Sk?(a2Sk?a1)?(a2Sk?1?a1)?a2(Sk?Sk?1)?a2ak?a2a2k?1?a2k即当n?k?1时结论成立，所以{an}是首项为1的等比数列(II)【法一特式叠加法】当n?1时S1?a1?12(a1?a1)成立，当n?2时S2?a1?a2?(a1?a2)成立22n当a2?1时，由(I)得数列{an}是各项为1的常数列，故Sn?1?1???1?(1?1)?n，
2n即Sn?(a1?an)成立
2当n?2且a2?1即a2?(?1,1)?(1,??)时显然有(a2?1)与(a2所以有a2?a2kn?kkn?k?1)符号恒相同，即(a2k?1)?(a2n?k?1)?0(k?{1,2,3,?,n?1}) 恒成立
?(a2k?a2n?k)?1?0，即a2k?a2n?k?1?a2k?a2n?k(k?{1,2,3,?,n?1})23n?1把上述n?1个式子相加得2(a2?a2?a2???a2)?(n?1)(1?a2n)n?1(1?a2n)，所以2n?1n?1n?11?a2?a22?a23???a2n?1?a2n?(1?a2n)?1?a2n?(1?a2n)?(1?an?1)222n?123n?1n(1?an?1)即当n?2且a2?(?1,1)?(1,??)时Sn?1?1?a2?a2?a2???a2?a2?2n综上所述，当a2??1时Sn?(a1?an)成立，且等号成立的充要条件是n?1,2或a2?1.
212【法二构造函数法】当n?1时S1?a1?(a1?a1)成立，当n?2时S2?a1?a2?(a1?a2)成立
22n当a2?1时，由(I)得数列{an}是各项为1的常数列，故Sn?1?1???1?(1?1)?n，
2n即Sn?(a1?an)成立
2即a2?a2?a2???a223n?1?1?a2nnn当n…3且a2?1时，Sn?(a1?an)等价于?(1?a2n?1)，即
1?a222(n?2)a2n?na2n?1?na2?n?2当?1?a2?0时(n?2)a2?na2nn?1?na2?(n?2)a2n?na2(1?a2n?2)?(n?2)|a2|n?n?2；
nn?1当0?a2?1时，设f(a2)?(n?2)a2?na2?na2(a2?(0,1))，
f?(a2)?n(n?2)a2n?1?n(n?1)a2n?2?nf??(a2)?n(n?1)(n?2)a2n?2?n(n?1)(n?2)a2n?3?n(n?1)(n?2)a2n?3(a?1)?0所以f?(a2)?n(n?2)a2nn?1?n(n?1)a2n?2?n为减函数，所以f?(a2)?f?(1)?0n?1所以f(a2)?(n?2)a2?na2当n…3且a2?1时
?na2(a2?(0,1))为增函数，故f(a2)?f(1)?n?21?a2nnn?(1?a2n?1)，即(n?2)a2n?na2n?1?na2…n?2Sn?(a1?an)等价于
1?a222设g(a2)?(n?2)a2?na2nn?1?na2(a2?(1,??))，
g?(a2)?n(n?2)a2n?1?n(n?1)a2n?2?ng??(a2)?n(n?1)(n?2)a2n?2?n(n?1)(n?2)a2n?3?n(n?1)(n?2)a2n?3(a?1)?0所以g?(a2)?n(n?2)a2nn?1?n(n?1)a2n?2?n为增函数，所以g?(a2)?g?(1)?0n?1所以g(a2)?(n?2)a2?na2?na2(a2?(1,??))为增函数，故f(a2)?f(1)?n?2综上所述，当a2??1时Sn?n(a1?an)成立，且等号成立的充要条件是n?1,2或a2?1.21?(1n)a2n1n?1成立，两边同乘a2n?1得(另法)当a2?1时由上述证明得?[1?()]12a21?a2a2n?1?1?1a21a21?a2nnn?1nn?1，即?(1?a)成立2?(a2?1)1?a222n(a1?an)成立，且等号成立的充要条件是n?1,2或a2?1.212【法三数学当纳法】当n?1时S1?a1?(a1?a1)成立，当n?2时S2?a1?a2?(a1?a2)成立
22n当a2?1时，由(I)得数列{an}是各项为1的常数列，故Sn?1?1???1?(1?1)?n，
2n即Sn?(a1?an)成立
2k假设当n?k时成立，即Sk?(a1?ak)2kk则当n?k?1时Sk?1?Sk?ak?1?(a1?ak)?ak?1?(1?a2k?1)?a2k22k?1k(1?a2k)?(1?a2k?1)?a2k…0，即(1?k)a2k?ka2k?1?1只需证22综上所述，当a2??1时Sn?当a2?1且a2?0时
设f(a2)?(1?k)a2k?ka2k?1(a2?(1,??))，则f?(a2)?k(1?k)a2k?1?k(k?1)a2k?2?k(k?1)a2k?2(1?a2)?0所以f(a2)?(k?1)a2k?ka2k?1在(1,??)上为减函数，且在a2?1处连续所以f(a2)?f(1)?1，即(1?k)a2?ka2kk?1?1成立
1?(1n)an1n?1成立，两边同乘a2n?1得当0?a2?1时，由上述证明得时由上述证明得2?[1?()]12a21?a2a2n?1?1?1a21a21?a2nnn?1nn?1，即?(1?a)成立2?(a2?1)1?a222kk?1当?1?a2?0时(1?k)a2?ka2?(1?k)|a2|k?k|a2|k?1?1?k?k?1n(a1?an)恒成立。2由归纳原理得对任意自然数n，Sn?综上所述，当a2??1时Sn?n(a1?an)成立，且等号成立的充要条件是n?1,2或a2?1.23、高效训练篇
正确率！完美的步骤！极限的速度！
大家做过成套的模拟卷吧？我先挑一张卷子，很认真很认真的用高考规定的时间做一遍，然后很认真很认真的订正答案。
然后，很多人就把卷子扔了吧？
给大家说，宁愿扔我的课本，也不愿扔我认真做过的一套卷子！就是这么珍贵！为什么？因为那是保证能考到145以上的资本！
然后怎么做呢？过几天(一般以三天为宜)，把那张卷子拿出来，把做过的痕迹擦掉，再用比原来少30分钟的时间认真做完。如果不能做满分，你该反思下了。
这样会很轻松，第二遍做，一是为了复习巩固，而是为了提高速度、正确率，三是为了加强对考试的整体把握，四是为了让卷面、步骤等等的细节达到完美！
接下来还没完，再那出一张卷子，按上述方法做，然后依然重复，然后再以更短的时间将第一张卷子再做一编。
然后反复重复，这样，整个高三，加起来做的卷子不到10套，但，你已经能稳拿130了！你想象，这样做即轻松又有成就感，还很充实，还不断的趋于完美，一举N得！数学的完美，就是这么炼出来的。
为什么只能达到130+呢，因为，这只能保证你中等难度左右的全部做对，压轴题，需要你平时的钻研+现场的灵感+平时积累的经验，只有这样，才有满分的可能。
4、临场秒杀篇
秒杀法对于高考来说，极度重要。怎么秒杀？先举一个例子：
????1????2????S设P为?ABC所在平面内一点，且AP?AB?AC,则?ABP为（ ）
SABC55A.15B.25C.35D.45由于答案为定值，且对三角形没有要求，那么可以随意取合适的值计算
简单的考虑为直角三角形，?A为直角，A(0,0)为原点，B(5,0)在x轴上，C(0,5)在y轴上
显然P点为(1,2)，于是
S?ABPSABC1?5?22?2?，选C1?5?552再看：
若f(x)是奇函数，那f(x?4)??f(4?x)和f(x?4)??f(?x?4)哪个对？若g(x)是偶函数，那g(x?4)?g(4?x)和g(x?4)?g(?x?4)哪个对？我们只要设f(x)?x,g(x)?x即可
上述三个例子就是“秒杀”。
一般来说，凡是看到一函数、一数列、一直线、一三角形...，就用秒杀法。在逻辑上来说，只要题目中给是“一般情况”，就可以用秒杀法，一般情况成立，特殊情况岂不更成立？而高考试题，有许多考的就是一般情况。
我们用秒杀法解一下2012年高考新课标全国卷中的有关试题：
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