2009年全国高中数学联赛福建省预赛
2009年全国高中数学联赛福建省预赛暨2009年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主办. 由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题. 命题负责人：陈荣斯.
试题以《普通高中数学新课程标准》的内容和要求为主要依据，在方法和能力上有所提高，并适当增加全国高中联赛中二试的内容. 试题包括10道填空题，每小题6分；5道解答题，每小题20分. 全卷满分160分.
考试时间：2009年9月13日（星期日）上午9：00－11：30. 考试地点：由各设区市组织进行.
预赛由设区市负责，各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单，省数学学会组织相关人员对各设区市选送的候选名单进行审核，最后产生参加复赛的学生名单. 同时，省数学学会根据各设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选.
试 题
一、填空题（每小题6分，共60分）
???1)，OQ?(?sin(?x)，cos2x)，f(x)?OP?OQ. 若a、1．已知向量OP?(2cos(?x)，22b、c分别是锐角△ABC中角A、B、C的对边，且满足f(A)?1，b?c?5?32，a?13，则△ABC的面积S? .
12．设a??1，变量x满足x2?ax??x，且x2?ax的最小值为?，则a?__ _____.
23．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为48和51，则这5个数中最大的数等于 .
4．一个直径AB?2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使
AS?AB，C为半圆上一个动点，M、N分别为A在SB、SC上的射影. 当三棱锥S?AMN的
体积最大时，SC与平面ABC所成角的正弦值是 .
5．若定义在R上的奇函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，且当0?x?1时，
1f(x)???f(0)在区间(0，1内0的所有实根之和，则方程f(x)?logx33为 .
B，直线l26．平面直角坐标系xOy中，直线l1：4x?5y?20与x轴、y轴分别交于点A、D，且平分△AOB的面积，则CD2的最小值与线段AB、OA分别交于点C、为 .
7．若对于任意的实数x，函数f(x)?x2?2x?x?1?a?x?2?4的值都是非负实数，则实数a的最大值为 .
8．集合?1，，，23，2009?的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 9．方程x?x??9的实数解是 . （其中?x?表示不超过x的最大整数） 210．满足0?ki?20，i?1，，，234，且k1?k3?k2?k4的有序整数组(k1，k2，k3，k4)的个数为 .
二、解答题（每小题20分，满分100分） 11．已知f(x)?ax?1，方程f(x)??4x?8有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍. 等3x?1差数列?an?与?bn?的前n项和分别为Sn与Tn，且
（1）设g(n)?Sn?f(n)（n?1，2，3，…）. Tnan（n?1，2，3，…），求g(n)的最大值； bn（2）若a1?5，数列?bn?的公差为3，探究在数列?an?与?bn?中是否存在相等的项. 若有，2求出由这些相等项从小到大排列得到的数列?cn?的通项公式；若没有，请说明理由.
0)，点P的坐标为(m，0)（m?0）. 12．已知抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为F(2，（1）设过点P斜率为1的直线l1交抛物线C于A、B两点，若m?0，P关于原点的对称点为Q. 求△QAB面积的最大值.
（2）设过点P斜率为k（k?0）的直线l2交抛物线C于M、N两点，在x轴上是否存在一点T，使得TM、TN与x轴所成的锐角相等？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
13．如图，⊙O与线段AB相切于点M，与以AB为直径的半圆相切于点E. CD?AB于点D，CD与以AB为直径的半圆交于点C，且与⊙O相切于点F，连接AC、CM. 求证：
（1）A、F、E三点共线； （2）AC?AM； （3）MC2?2MD?MA.
（第13题）
14． 设xi?AFDMOBCE?2?1，2?1，i?1，2，，2010.
?令S?x1x2?x3x4??x2009x2010.
（1）S能否等于2010？证明你的结论； （2）S能取到多少个不同的整数值？
15．已知正实数a、b、c满足a?b?c?3. 求证：
（1）3?（2）
1113???； a?1b?1c?12a?1b?1c?1???2.
a(a?2)b(b?2)c(c?2)解 答
1. 由条件知 所以
??22sin(2A?)?1，sin(2A?)?.
442?4?2A?又因为A为锐角，??4?3????，因此2A??，A?. 4444因为 b?c?5?32，a?13，所以
13?b2?c2?2bccosA?(b?c)2?2bc?2bccosA，
即
13?43?302?(2?2)bc.
所以 bc?152，△ABC的面积
11215S?bcsinA??152??.
2222a2a22. 由a??1及x?ax??x，得0?x??(a?1). 设f(x)?x?ax?(x?)?.
2422若?a??(a?1)，即?2?a??1，则f(x)在x??(a?1)处取最小值f(?a?1)?a?1，因此213a?1??，a??.
22aaa2a21若???(a?1)，即a??2，则f(x)在x??处取最小值?，因此???，a??222424（舍去）.
3综上可知a??.
2a?c?36，c?e?48，d?e?51，下面说3. 设这5个数为a?b?c?d?e，则a?b?32，明b?c?37.
d?c?3，d?b?7，所以 因为c?b?4，a?d?(a?b)?(d?b)?39，
故 b?c?37. 所以
2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答
