第3讲 数列的综合问题
「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.
核心知识回顾
数列综合应用主要体现在以下两点：
(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．
(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．
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考向1 数列与函数的综合问题
例1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)，且不等式|f(x)|≤2019|2－x|对任意的x∈[0,10]都成立，数列{an}是以7＋a为首项，公差为1的等差数列(n∈N)．
(1)当x∈[0,10]时，写出方程2－x＝0的解，并写出数列{an}的通项公式(不必证明)；
x2
*
2
x2
?1? a**
(2)若bn＝an·??n (n∈N)，数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N，都有Sn ?3? 立，求m的取值范围． 解 (1)因为x∈[0,10]时，易知方程2－x＝0的解为x＝2，x＝4， ?|f?x2 由不等式|f(x)|≤2019|2－x|对任意的x∈[0,10]都成立，可得? ??|fx2 2|≤0，4|≤0， 即? ?f???f2＝4＋2a＋b＝0， 4＝16＋4a＋b＝0， ??a＝－6， 解得? ??b＝8， 2 所以f(x)＝x－6x＋8， 又数列{an}是以7＋a＝1为首项，公差为1的等差数列， 所以an＝n. ?1? a?1?n(2)由(1)知bn＝an·??n＝n·??， ?3??3? - 1 - 1?1?2?1?3?1?n所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1·＋2·??＋3·??＋…＋n·??，① 3?3??3??3?1?1??1??1??1?Sn＝1·??2＋2·??3＋3·??4＋…＋n·??n＋1，② 3?3??3??3??3? 11? 1－n??? 1?n1?n＋13?3?21?1?2?1?3???1?n＋11?1?①－②得，Sn＝＋??＋??＋…＋??－n·??＝－n·??＝?1－n?－ 33?3??3?12?3??3??3??3? 1－3 n3 n＋1， 32n＋32n＋33 整理得，Sn＝－n，由n>0可得Sn<， 44·34·343 由Sn 4 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化． - 2 - 已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn,1)，b＝??n1?2－1，2???，满足条件a∥b. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设函数f(x)＝??11?2??x? ，数列{bn}满足条件b1＝1，f(bn＋1)＝ f－bn－1 . ①求数列{bn}的通项公式； ②设cbnn＝a，求数列{cn}的前n项和Tn. n解 (1)∵a∥b，∴12S2n－1，Sn＋1 n＝n＝2－2. 当n≥2时，ann＝Sn－Sn－1＝2； 当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式，∴an＝2n. (2)①∵f(x)＝??1??x1 ?2? ，f(bn＋1)＝ f－1－b， n∴??1111?2???bn＋1＝?，∴?12bn＋1＝21＋bn. ?2???－1－bn∴bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1. 又∵b1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴bn＝n. ②cbnn12n－1nn＝a＝n，Tn＝21＋22＋…＋2n－1＋2 n， n2两边同乘1112n－1n2得，2Tn＝22＋23＋…＋2n＋2n＋1， 上述两式相减得1112T＝11nn21＋22＋23＋…＋2n－2 n＋1 - 3 - 1?1?1－n??2?2?nn＋2n＋2* ＝－n＋1＝1－n＋1，∴Tn＝2－n(n∈N)． 12221－2考向2 数列与不等式的综合问题 例2 (2019·云南玉溪第一中学高三第五次调研)若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0且2Sn＝an＋an(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若an>0，令bn＝的最小值． 解 (1)当n＝1时，2S1＝a1＋a1，则a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ 2 2 * an4 ，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn a2a2n＋ann－1＋an－1 2－ 2 ， 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0?an＝－an－1或an＝an－1＋1， ∴an＝(－1) n－1 或an＝n(n≥2)， n－1 又a1＝1满足上式，所以an＝(－1)(2)由an>0，∴an＝n，bn＝ 或an＝n，n∈N. * n1?4?1 ＝2?－?， n＋2?nn＋2? －Tn＝2??1－?＋?－?＋?－?＋…＋?－＝2?1＋－?＝3－ 32435nn＋2??2n＋1n＋2 ???? 1??11??11? ????? ?1? 1?? ?? ?? 11 1? ? 4n＋6 <3，若Tn n＋1n＋2 (1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法 - 4 - 求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩． 1 (2)注意放缩的尺度：如2< nn111 ，2<2. n－1nn－1 (2019·安徽黄山高三第二次质检)已知数列?(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝都有Tn<1. 解 (1)因为Sn＝n， ① 当n≥2时，Sn－1＝n－1， ② 由①－②，得 2n＋1 ? ?的前n项和Sn＝n，n∈N*. ?an－1? n? an－1 2 an＋1－1 2 ，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对于任意的n∈N， * nan－1 ＝1，故an＝n＋1 * 又因为a1＝2适合上式，所以an＝n＋1(n∈N)． (2)证明：由(1)知， bn＝ 2n＋1 an－1 2 an＋1－1 2 ＝ 2n＋1nn＋1 2 2 1＝2－ n2 1n＋1 2 ， 1?11??11??1 Tn＝?2－2?＋?2－2?＋…＋?2－ n＋1?12??23??n＝1－ 1 n＋1 2 ? ?? ， 所以Tn<1. 考向3 奇(偶)数项和问题 例3 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N. - 5 - *
2020届高考数学大二轮复习专题三数列第3讲数列的综合问题练习文
