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第34 届全国中学生物理竞赛决赛
试题与参考解答
一、（35 分）如图，质量分别为ma 、mb 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k0 的绝缘轻弹簧连接。
（1） t ? 0 时，弹簧处于原长，小球 a 有一沿两球连线向右的初速度v0 ，小球b 静止。若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t ? 0) 的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为 L0 ，记静电力常量为 K 。求小球所带电荷量 和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。参考解答：
（1）如图， t 时刻弹簧的伸长量为
u ? l ? l0
有
d 2u
??2? ?k0u dt
①
式中
? ??ma mb
ma ? mb
②
为两小球的约化质量。由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为
? 1 k 1 ma ? mb 0f ? ?? k0 ? 2π ??2π m m 2π a b 最后一步利用了②式。t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为
u ? Asin ?t ? B cos?t ③
④
式中 A 、B 为待定常量。t ? 0 时，弹簧处于原长，即 u(0) ? B ? 0 将 B ? 0 代入④式得
u ? Asin ?t
a 相对于b 的速度为
⑤ ⑥
v? ? a dra drb du ? ? ? A? cos?t dt dt dt
t ? 0 时有
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v?a
(0) ? v0 ? 0 ? A?
由⑥⑦式得
v?a
? v0 cos?t
系统在运动过程中动量守恒
ma v0 ? ma va ? mbvb 小球 a 相对于地面的速度为
va ? v?a
? vb
由③⑧⑨⑩式可得， t 时刻小球 a 和小球b 的速度分别为
a ?
v ?? ?1 ?m b
cos ??(m ? m )k ?? m ?? a b 0 ??
m m m t ????? m a ?v m ?0 a ? a b ?? a b v ?b ? ?1 ? ? cos ?? (m ? m )k ??? m
? ?? a b 0 m m t ??? a
? m ? m v 0 ?
? ? a b ? a b （2）若两球带等量同号电荷，电荷量为 q ，系统平衡时有
q2
K L 2 ? k0 (L0 ??l0 ) 0
由?式得
q ? Lk0 0 K (L 0 ? l ) 0
设t 时刻弹簧的长度为 L （见图 II），有
2 ??d L q2
dt2? ?k0 (L ? l0 ) ? K
L2
图 II
?
令 x ? L ? L0
为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度 L0
的伸长量，?式可改写为 ?
d 2 x q2 ???
dt2x ??2 ?? ? ?k
0 x ? k0 (L0 ? l0 ) ? K L2 ?1? ? 0 ? L 0 ??
系统做微振动时有
?
?
x
L0
因而
? x ??2
???x x ?2 ???1 ? ?? 1 ? 2 ? L L ? O ?? ? ? 0 ?????L 0 ?0 ? ???
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⑦
⑧
⑨
⑩
?
?
?
?
?
?
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利用上式，?式可写为
2 ? x ???q ? ??q ??d x ??
??dt2 ? ??k0 (L0 ? l0 ) ? K 2 ? ? ? k0 ? 2K 3 ? x ? O ?? ? ? LLL ? 0 ? ???0 ? ???0 ? ???
?
22?
2???
?? x ?2 ??
略去O ?? ? ? ，并利用?或?式，?式可写为
L ???? 0 ? ???
?
0
?
?
3L ? 2l 0 d 2 x ??q2 ? ? ? ?? k ? 2K ? x ? ? 0 k x ?
dt2
?
?0 L30 ?L 0
由?式知， 3L0 ? 2l0 ? 0 ，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为
??3L ? 2l 0 ??0 ? k 0 ??? ? m 3L ? 2l 0 m ?? 1 ? L 0 ? ? 1 ? 0 ?a b f ? ?? ?? k0 ??2π 2π ? L 0 ? ? m m a b ???
最后一步利用了②式。
评分参考：第（1）问 24 分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩??式各 2 分；第（2）问 11 分，???式各 2 分，?式 1 分，??式各 2 分。
二、（35 分）双星系统是一类重要的天文观测对象。假设某两星体均可视为质点，其质量分别为 M 和 m ，一起围绕它们的质心做圆周运动，构成一双星系统，观测到该系统的转动周期为T0 。在某一时刻， M 星突然发生爆炸而失去质量?M 。假设爆炸是瞬时的、相对于 M 星是各向同性的，因而爆炸后 M 星的残余体 M ?(M ? ? M ? ?M ) 星的瞬间速度与爆炸前瞬间 M 星的速度相同，且爆炸过程和抛射物质 ?M 都对m 星没有影响。已知引力常量为G ，不考虑相对论效应。
（1）求爆炸前 M 星和m 星之间的距离r0 ；
（2）若爆炸后 M ? 星和m 星仍然做周期运动，求该运动的周期T1 ；
（3）若爆炸后 M ? 星和m 星最终能永远分开，求 M 、m 和?M 三者应满足的条件。参考解答：
（1）两体系统的相对运动相当于质量为 ? ??
Mm 的质点在固定力场中的运动，其运动方程是 M ? m
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GMm r ? ? r M ? m r3
Mm ①
其中 r 是两星体间的相对位矢。①式可化为
r ?? G(M ? m) r r3
②由②式可知，双星系统的相对运动可视为质点在质量为 M ? m 的固定等效引力源的引力场中的运动。爆炸前为圆周运动，其运动方程是
?G(M ? m) ? ?? 2π 2 rT ? r0 0 ? 0 ??
由③式解得
? ??G0 (M ? m)T 2 ? r ? ?? 0
??
（2）爆炸前， m 星相对于 M 星的速度大小是
2 ? 2πG(M ? m) ?2πr0 ?2π ? G(M ? m)T ? ? ? ? v ??0 ??0 2 ?T T T ?4π?0 0 ? ? ? 0 ??
2
③
1/3
④
4π2 ??
1/3
1/3 ⑤
方向与两星体连线垂直。
爆炸后，等效引力源的质量变为
M ? M ? ? m ? M ? m ? ?M
⑥
相对运动轨道从圆变成了椭圆、抛物线或双曲线。由爆炸刚刚完成时（取为初始时刻）两星体的位置和运动状态可知，两星体初始距离为r0 ，初始相对速度的大小为v0 ，其方向与两星体连线垂直，所以初始位置必定是椭圆、抛物线或双曲线的顶点。对于椭圆轨道，它是长轴的一个端点。
设椭圆轨道长轴的另一个端点与等效引力源的距离为 r1 ，在 r1 处的速度（最小速度）为vmin （理由
见?式），由角动量守恒和机械能守恒得
r1v1 ? r0v0
⑦
和
1 2v2 GM v0 GM ? ?? 2 r1 2 r0
⑧
由⑦⑧式得 r1 满足方程
? 2GM v ??r ? 2GM r ? r v ? 0 ??2 ? 1 2 2 21 0 0
? 0 r? 0 ??
⑨
由⑨式解得
?
?1 ?
? 2GM ??2? ? v0 ? GM r1 ? ??
?r ? 0 ?????
? GM ? ??22? 2GM ? r0 ??22??
? v0 ? rv ??0 0 ??????
2 ⑩
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r ???0 (GM ? r v2 ? GM 2002GM ? r v
0 0
r v2
0 0 ) ???2GM r? r v2 0
0 0
另一解r0 可在⑩式右端根号前取减号得到。由⑩式可知
r1 ? r0
?
利用方程⑨和韦达定理（或由⑩式），椭圆的半长轴是
? G(M ? m)T 2 ? M ? m ? ?M GM r ? r r0r??0 ?M ? m ? 2?M a ? 0 2 1 ??2GM ? ?4π 2 ? v2 ?0 0 ? ??
要使运行轨道为椭圆，应有由??式得
1/3?
?
0 ? a ? ? ? ?
据开普勒第三定律得
M ? m ? 2?M ? 0
将⑥?式代入?式得
a3 T1 ? 2π GM ?
[解法（二）
(M ? m)(M ? m ? ?M )2 T1 ??T0
(M ? m ? 2?M )3 ?
爆炸前，设 M 星与m 星之间的相对运动的速度为v相对0 ，有
v相对0 ?
G(M ? m) r0 ⑤
爆炸后瞬间， m 星的速度没有改变， M ? ?M 星与爆炸前的速度相等，设 M ? ?M 星与m 星之间的相对运动的速度为v相对 ，有
v相对 ? v相对0
⑥
爆炸后质心系的总动能为
? ? Ek 1 (M ? ?M )m
质心系总能量为
2 M ? m ? ?M 2 v相对
⑦? ? E? ? Ek
G(M ? ?M )m r0
⑧对于椭圆轨道运动有
G(M ? ?M )m E? ?? 2 A
⑨式中
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2017第34届全国中学生物理竞赛决赛真题几答案解析
