天津理工大学中环信息学院《离散数学》第三、四章检测题
得分统计表： 题号 总分 一 二 三 四 请将填空题答案填入下面相应位置
1. ；2. ；3. ；4. ；
5. , ；6. , ；
7. , , , , , ；8. ；
9. , , , , 。
请将选择题答案填入下表相应位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分
一、填空题（每空2分，共40分）
1．若集合A的基数为n，则A?P(A)= 。n?2n
２．设A=｛｛?，｛?｝｝｝，则A×P(P(?))= 。
其中P(A)表示集合A的幂集．{{?,{?}},?,{?,{?}},{?}}
3．设A?{{a,{b,c}}}，则P(A)= 。其中P(A)表示集合A的幂集．{?,{{a,{b,c}}}}
4．设A={1，2，3}，A上的二元关系R={?1,1?,?1,2?,?1,3?,?3,3?}，则关系R具有 性。反对称，传递。
?5．设R是集合A上的二元关系，则S(R)= ，t(R)= 。R?R?1；?Ri
i?16．设R是集合A上的具有自反性、对称性、反对称性和传递性的二元关系，则
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?1?0（IA，?R= ，R的关系矩阵是 。
????0?01?0????0??0?或单位矩阵） ???1??7． 在偏序集A,?中，其中A={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是A中的整除关系，则集合B={2,3,4,6}的极大元是 4,6 ，极小元是 2,3 ，最大元是 无 ，最小元是 无 ，上
确界是 12 ，下确界是 1 。 8．设A?{?,?{}}B,?f2?{?,1,{?},0}。
, }{0, ,1所有从A到B的双射函数是f1?{?,0,?{},19．设f是A到B的函数，如果对?x1,x2?A,x1?x2，都有f(x1)?f(x2)，则称f为 ，如果ran(f)?B，则称f为 ；若f ，则称f为双射。当f为双射时，ff?1?1是B到A的函数，且f?f?1= ，（单射，满射；既是单射又是满射； IB； IA） ?f= 。
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
1．设R1和R2是集合A上的任意两个关系，则下列命题为真的是（ ）．(1)
(1)．若R1和R2是自反的，则R1?R2也是自反的； (2)．若R1和R2是非自反的，则R1?R2也是非自反的； (3)．若R1和R2是对称的，则R1?R2也是对称的； (4)．若R1和R2是传递的，则R1?R2也是传递的．
２．集合A上的关系R为一个偏序关系，当且仅当R具有（ ）。(2) (1)．自反性、对称性和传递性； (2)．自反性、反对称性和传递性；
(3)．反自反性、对称性和传递性； (4)．反自反性、反对称性和传递 ３．集合A上的关系R为一个等价关系，当且仅当R具有（ ）。(1) (1)．自反性、对称性和传递性； (2)．自反性、反对称性和传递性；
(3)．反自反性、对称性和传递性； (4)．反自反性、反对称性和传递性
４．集合A上的等价关系R，其等价类的集合｛?a?Ra?A｝称为（ ）．(3)
(1)．A与R的并集，记为A∪R； (2)．A与R的交集，记为A∩R；
(3)．A与R的商集，记为A／R； (4)．A与R的差集，记为A－R．
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５．设集合A?{0,1,2,3}，R={<0,0>,<0,2>,<1,2>,<1,3>,<2,0>,<2,1>,<3,3,>}是A上的二元关系，则R的关系矩阵MR是( )。（2） ?1?1?（1）．?0??0010010010??1??00? （2）?.
?11???1??0001011000??0??11? ?（3）.
?00???1??1001101011??1??00? ?（4）.
?01???0??1100011010??1?1??0?６．设A?{1,2,3,4,5,6},B?{a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A到B的满射 ( 2 )。
(1)．R?{1,a,2,b,3,c,4,d,5,e}； (2)．R?{1,e,2,d3,c,4,b,5,a,6,e}；
(3)．R?{1,a,2,b,3,c,4,a,5,b,6,c} ； (4)．R?{1,a,2,b,3,c,4,d,5,e,1,b} ．
7．设A?{a,b,c}，集合A上的等价关系R所确定的A的划分的是{{a},{ b, c }} ，则
R=( 1 )
（1）． {< a, a>,
(1)．是入射不是满射； (2)．是满射不是入射；(3)．既非入射也非满射； (4)．是双射． 9．设f,g,h是集合A上的任意函数，下列哪个命题是真命题（ ）．（3）
(1)． f?g?g?f ； (2)．f?f?f； (3)．f?(g?h)?(f?g)?h； (4)． f?g?h．10．设A?{1,2,3},B?{a,b}，下列二元关系R为A到B的函数的是( 1 )
(1)．R?{1,a,2,a,3,a} ； (2)．R?{1,a,2,b}；
(3)．R?{1,a,1,b,2,a,3,a} ； (4)．R?{1,a,1,b,2,a,3,b} ．
三、简答题（共30分）
1．（6分）设A={1,2,3,5,6,10,15,30} ， “／” 为集合A上的整除关系。〈A，／〉是否为偏
序集? 若是，画出其哈斯图； 解：〈A，／〉是偏序集。其哈斯图为：
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2．（12分）对下图所给的偏序集A,?，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并将结果填入表中。
子 集 {a,b,c} {c,d,e} A 上 界 上 界 a a,c 下 界 下 界 d 上 确 界 上 确 界 a c 下 确 界 下 确 界 d
子 集 {a,b,c} {c,d,e} A 无 无 无 无 a a 3．（6分）设 A={1,2,3,4,5,6}，集合A上的关系
R={〈1,3〉,〈1,5〉,〈2,5〉,〈4,4〉,〈4,5〉,〈5,4〉,〈6,3〉,〈6,6〉}。 （1）画出R的关系图，并求它的关系矩阵； （2）求r(R),S(R)及 t(R)。 解：（1）R的关系图为
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R的关系矩阵为
MR?0?0??0???0?0???00000001000010001101101000??0?0?? （2分） 0?0??1??（2）r(R)?R?{1,1,2,2,3,3,5,5}， （1分） 3,16分）} S(R)?R?{3,1,5,1,5,2 , （
t(R)?R?{1,4,2,4, 5 , 5 } （2分）
4．设Z是整数集，R是Z上的模3同余关系，即R?{x,yx,y?Z,x?y(mod3)}，试根据等价关系R决定Z的一个划分 。
答案：由R决定的Z的划分为：{?0?R,?1?R,?2?R}， 其中：
?0?R?{?,?9,?6,?3,0,3,6,9,?} ?1?R?{?,?8,?5,?2,1,4,7,?}
?2?R?{?,?7,?4,?1,2,5,8,?}
四．证明题（共10分）
１．设a,b?R,a?b, 定义f:[a,b]?[0,1]为 f(x)?其逆映射。
证：1）先证明f是入射（2分）
对任意的x1,x2??a,b?,若f(x1)?f(x2),则有故f是入射。
x1?ab?ax2?ab?ax?ab?a，证明：f是双射，并求出
?，从而有x1?x2，
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2) 再证明f是满射（2分）
对任意的y??0,1?,都存在x?(b?a)y?a??a,b?,使得f(x)?y,从而f是满射。
综合（1）、（2）知f是双射。 f?1:[0,1]?[a,b]为 f?1（1分） (x)?(b?a)x?a，对任意x??0,1?。
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离散数学三、四章检测题及答案
