浙江大学 数学分析考研试题解答
一、（1）证明 limcotn??s?ct22o?s?ct2no s(costt ?lim2?cos2??costt2n)sin2nn?? sint2n?limsinttsintn???limsin2nsintn??tsin2?nt?t； 2n2?nt （2）利用cos?14?2，及cos?11?2n?1?2?2cos2n， 2???limn??cos22?cos?23??cos?2n?1，
即得
211111111??22?222?22?122 。
二、解 g(x)??10f(xt)dt?1xx?0f(u)du，（x?0）；显然g(0)??10f(0)dt?0xlim11?0f(u)dux?0x?0f(xt)dt?limx?0x2 ?limf(x)1f(x)?f(0)15x?02x?2limx?0x?0?2f?(0)?2 。 三、解 令an?sinnx.，
bn?1(1?1??1n2n), 由于bb1(1?1??11n?n?1?n2n)?11n?1(1?2??n?1)
?1n?1(1?1n)(1?12??1n)?1n?1(1?12??1n?1) 1
?11(1??n?121111?)??(1??nn(n?1)n?12?1)?0， n?1所以{bn}单调递减. 又因为limn111?0,所以limbn?lim(1??n??nn??n??n2n1?)?0. n而 |?ak|?|?sinkx|?k?1k?1?1, (x?2k?) x|sin2|即 ?ak的部分和有界，
k?1于是,由Dirichlet判别法可知级数收敛； 当 x?2k?时，显然级数收敛。
四、设f?x?是区间I上的有界函数，证明f?x?在区间I上一致连续的充分必要条件是对任给的??0，总存在正数M，使得当x,y?I，x?y，且
f?y??f?x???.
f?y??f?xy?x??M时，就有
证明 充分性 用反证法.
假若f?x?在区间I上不一致连续，则存在?0?0，存在?xn?,?yn??I， 使得xn?yn?即有
1，但f?xn??f?yn???0， nf?xn??f?yn??n?0，
xn?yn由假设条件，对
?02?0，只需要n充分大，
就有f?xn??f?yn??矛盾
?02，
所以f?x?在区间I上一致连续； 必要性 设f?x?在区间I上一致连续， 用反证法若结论不成立，
2
则存在?0?0，对任意正整数n，存在?xn?,?yn??I， 使得
f?xn??f?yn??n，
xn?yn但f?xn??f?yn???0. 即有xn?yn?2M?，?M?supf?x???， nx?I??这与f一致连续矛盾.
注：对函数f?x??C，或者f?x??x，显然在I上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的?xn?，?yn?不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.
五、证明黎曼
??函数
1?(x)??xn?1n在
(1,??)内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。
1?xu(x)??n 证明令n，
nx显然
（这种性质，也称为无穷次可微。）
1un(x)?x?n?x，un?(x)??n?xlnn，
n??(x)?n?x(lnn)2， un[un(x)](k)?(?1)kn?x(lnn)k，
k?1,2,3,?都在
(1,??)上连续；
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