第四届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(２00７年7月27日, 8:00-12:０0， 浙江镇海)
一、 试求实数a的个数,使得对于每个a,关于x的三次方程x3?ax?a?1都有满
足x?1000的偶数根。 二、 如图，设Ｃ、D是以O为圆心、ＡＢ为
直径的半圆上的任意两点，过点B作O的切线交直线CD交于Ｐ,直线PO与直线CA、ＡＤ分别交于点E、Ｆ。证明:OＥ＝OF。 i??三、 设ai?min?k?k?N*?,试求
k??Sn2??a1???a2?????an2??的值，其中n?2,?x?表示不超过x的最大整数。
nFDCAPOBE四、 求最小的正整数n，使得对于满足条件?ai?2007的任一具有n项的正整
i?1数数列a1,a2,
,an，其中必有连续的若干项之和等于３０。
第 二 天
（200７年7月2８日, 8:00-12:００， 浙江镇海）
五、 设函数f?x?满足:f?x?1??f?x??2x?1（x?R),且当x??0,1?时有
f?x??1,证明:当x?R时，有f?x??2?x2。 六、 如图，直角三角形ABC中，D是斜边AB的
中点,MB?AB，MD交ＡC于N;MC的延长线交AＢ于E。证明：?DBN??BCE。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a, ｂ, ｃ):
(i) a＜b 于整数k?2,有 akbkck3??? a?bb?cc?a2 MNCADEB 答案 一、 令x0?2n，n为整数,且|2n|?1000,即|n|?499，所以至多取2?499?1?9990,1,,499}。将x0?2n代入原方程得 个数，即n?{?499,?498,，8n3?18n3?10,1,,499},。记f(n)?,对任意的n1,n2?{?499,?498,，a?2n?12n?1xx当n1?n2 (n1,n2?Z)时，若f(n1)?f(n2),设n1?1,n2?2,其中x1,x2是关 22于x的方程x3?ax?a?1?0的两个根，设另一根为x3,由根与系数的关系 x3??(x1?x2)?? ?x1x2?x2x3?x3x1??a?x1x2x3?a?1??4N1??a即??8N2?a?1(其中N1??(n12?n22?n1n2),N2??n1n2(n1?n2)) 即4N1?8N2?1，矛盾！ 0,1,,499},都有f(n1)?f(n2),于所以,对于不同的n1,n2?{?499,?498,，是满足条件的实数a恰有999个。 【另解】 x3?1对任意|x|?998,x为偶数，a?的取值都各不相同。 x?1x13?1x23?1?反证，若存在x1?x2，使得,其中x1,x2为偶数，则 x1?1x2?1(x1?x2)(x12x2?x1x22?x12?x22?x1x2?1)?0 由于x1?x2,则x1?x2?0，又因为x12x2?x1x22?x12?x22?x1x2为偶数，所以(x1?x2)(x12x2?x1x22?x12?x22?x1x2?1)?0,矛盾。因此满足条件的a共有９99个。 二、 如图,作OM?CD于Ｍ，作MN//AD,设 MNBA?N,CNDA?K，连ＢC、BＭ,则?NBC??ADC??NMC，因此N、B、M、C共圆;又由O、B、P、M共圆,得 ?OPM??OBM?180???MCN 所以CN/／OP,于是 CNANNK??(1) OEAOOF因M为CD的中点，MN/／DK,则Ｎ为CK的中点；故由(１)得，OE?OF。 FDPCNMAKOBE 【另证】 如图，过O作OM?CD于M，连结ＢＣ、BＭ、ＢD、BＥ,因为OM?CD，PB?AB,所以O、B、Ｐ、Ｍ四点共圆,于是 ?BMP??BOP??AOE，?EAO??BDM, AEAOAB所以?OAE?MDB，,从而??BDDMCD所以?BAE?CDB,?EBA??BCD??BAD， OEOBAD/／BＥ,??1,即OＥ=OＦ。 OFOAFMCAOBDPEi?1i?1??三、 设ai?1?min?k? (k1?N*)，则k?N*??k1?kk1??ii?1ai?k1??k1??ai?1，即数列?an?严格单增。 k1k1m2由于k??2m，(当k=ｍ时取得等号)，故am2?2m?m?N*?； km?m?1?又当k=m、m+1时,k??2m?1，而在k?m或k?m?1时， k?k?m??k?m?1??0，即k2??2m?1?k?m?m?1??0，亦即 m?m?1?k??2m?1，所以am2?m?2m?1；再由数列?an?的单调性,当 k2m2?m?i??m?1?时，2m?1?ai?2?m?1?,所以 22?2m, m?i?m?m? ?ai???22??2m?1, m?m?i??m?1?m2?2m因此， i?m2??a??2m?m??2m?1???m?1??4mi2?3m?1，于是 Sn2???4m2?3m?1??2nm?1n?1n?n?1??2n?1?n?n?1??4??3???n?1??2n 628n3?3n2?13n?6?6四、 首先，我们可以构造一个具有10１7项的整数数列a1,a2,,a1017,使其中不 存在和为30的连续项;为此，取a1?a2??a29?1, a30?31，以及a30m?i?ai , i??1,2,,30?, m?N,即 ?ak?为：
2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及标准答案
