高二数学竞赛拔高试题（二）
8．直线 分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则
面积的取值范围是 ( ) 时间：120分钟 满分150分 命题人：张付涛 审题人：郝庆全 一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）
1．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线 的距离，当θ，m变化时，d的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
a22．已知数列?an?的通项公式n?n2?4n?5，则?an?的最大项是 （ ）
A．a1
B．a2
C．a3 D．a4
3．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的
两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= （ ） A. B. 3 C.
D. 4
32?3a4、若关于x的方程(2)x?5?a有负数根，则实数a的取值范围为 （ ） 2322A.(??,?3)(5,??) B. (??,?4)(5,??) C. (?3,5) D.
(?33,4) 5．关于x的不等式x2?ax?20a2?0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是 （ ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） ?1 6．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
的直线与C交于M，N两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等1式|Sn-n-6|<125的最小整数n是 （ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
A. B. C. D. 9.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
?10.函数 y?f(x) 的图像按向量 a?(4,2) 平移后, 得到的图像的解析式为 y?sin(x??4)?2. 那么 y?f(x) 的解析式为 ( )
A. y?sinx B. y?cosx C. y?sinx?2 D. y?cosx?4
11．设
， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
( ) A. B. 2 C.
D.
12．已知
f(x)?x?1?x?2??x?2007?x?1?x?2??x?2007（x?R），
且
f(a2?3a?2)?f(a?1), 则a的值有 （ ）. （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个 二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝
a4?4b4?114.若a,b?R，ab?0，则ab的最小值为___________.
15. 设命题P:a2?a，命题Q: 对任何x?R，都有x2?4ax?1?0. 命题P与Q中有
且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 . 16圆锥曲线
x2?y2?6x?2y?10?|x?y?3|?0的离心率是 ．
三解答题（17题10分，其他题目满分12分，共计70）
17．已知数列 的各项均为正数，且
. （1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18. 已知函数f(x)??2x2?bx?c在x?1时有最大值1，0?m?n，并且x??m,n?时，
?1f(x),1?的取值范围为??nm??. 试求m，n的值.
19．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元／件）之间近似于如图所示的一次函数y＝kx＋b的关
系．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx＋b的解析式；（2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元．
① 试用销售单价x表示毛利润S．
② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
20.设F是抛物线
y2?4x的焦点，A、B为抛物线上异于原点O的两点，且满足FA?FB?0．延长AF、BF分别交抛物线于
点C、D（如图）．求四边形ABCD面积的最小值．
21.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，
x?x1,x?xn?1所围成的区域的面积Tn.
22．已知斜率为 的直线 与椭圆 ：
交于 ， 两点，线段
的中点为．
（1）证明：
；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等
差数列，并求该数列的公差．
高二数学竞赛拔高试题（二）答案 1【答案】C 2．（B）3【答案】B 4、（d）5．（C）．6．【答案】D7 c 8．【答案】此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．
故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．
A 9. 【答案】C
10,B , 即 . 故选 B 11．【答案】C 12故选（D）．
二填空题13 k＝11． 14.【答案】 15. 的取值范围是 或 ． 16 ． 三解答题17．【答案】（1）a_n=2n+1,n∈N^*（2）T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1) （1）由〖a_n〗^2-2na_n-(2n+1)=0得[a_n-(2n+1)] (a_n+1)=0，所以a_n=2n+1或a_n=-1，又因为数列{a_n }的各项均为正数，负值舍去，所以a_n=2n+1,n∈N^*.
（2）因为b_n=〖(-1)〗^(n-1) a_n=〖(-1)〗^(n-1) (2n+1)，所以T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1) (2n+1)
由T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1) (2n+1)①
(-1)T_n=-3+5-7+9...+〖(-1)〗^(n-1) (2n+1)+〖(-1)〗^n (2n+1)② 由①-②得：2T_n=3-2[1-1+9...+〖(-1)〗^(n-1) ]-〖(-1)〗^n (2n+1) =3-2[1-〖(-1)〗^(n-1) ]/(1-(-1))=2+〖(-1)〗^(n-1)-〖(-1)〗^n (2n+1)=2+〖(-1)〗^(n-1)
(2n+2)
∴T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1)
点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
18..解 由题 ， ……5分 ， ，即 ， 上单调减，
且 . ……10分 ，n是方程 的两个解，方程即 =0，
解方程，得解为1， ， .
， ， . ……15分 19解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得
解得
∴ y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800． （2）① S＝xy－500y
＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），
即 S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．
② S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500． 当x＝750时，S最大值＝62500． 20
20.解析：设 ，由题设知， 直线 的斜率存在，设为 ． 因直线 过焦点 ，所以，直线 的方程为 ． 联立方程组 ，消 得
由根与系数的关系知： ， ……5分于是
……10分 又因为 ，所以直线 的斜率为 ，
从而直线 的方程为： ，同理可得 ．……15分 故
当 时等号成立．所以，四边形 的最小面积为32． 21.
（II）过 …… 向 轴作垂线，垂足分别为 …… , 由(I)得
记梯形 的面积为 . 由题意 ， 所以
……+
= ……+ ① 又 ……+ ② ①-②得 = 所以 【答案】（1） （2） 或 详解：（1）设 ，则 .两式相减，并由 得 .由题设知 ，于是 .①；由题设得 ，故 .
20分 ……（2）由题意得 ，设 ，则 .
由（1）及题设得 .又点P在C上，所以 ，从而 ， .于是 .同理 .所以 .故 ，即 成等差数列.
设该数列的公差为d，则 .②
将 代入①得 .所以l的方程为 ，代入C的方程，并整理得 . 故 ，代入②解得 .所以该数列的公差为 或 .
点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到 ,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。
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