§2.2.2对数函数及其性质（三）
学习目标：⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数；
⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识， 了解互为反函数的两个函数图象间的关系；
⒊通过指数函数与对数函数的比较，了解互为反函数的两个函数定 义域和值域之间的关系．
学习重点：底数相同的指数函数与对数函数互为反函数． 学习难点：互为反函数的两个函数图象间的关系． 学习方法：探究、讨论式．
学前准备：⒈用《PowerPoint》播放指数函数与对数函数对照表．
⒉用《几何画板》演示同底数的指数函数与对数函数图象间的关系． 学习过程：
（I）复习回顾：
师：前面几节课，我们学习了指数函数、对数函数的概念、图象和性质，现在我们把这两类函数做个对比，以便于我们对它们形成整体的认识．
请大家一起来填写下表．（用《PowerPoint》播放）
指数函数与对数函数对照表 指数函数 y?ax(a?0，且a?1) 对数函数 y?logax(a?0，且a?1) 一般形式 定义域 值域 函 数 值 变 化 情 况 单调性 图象 当a?1时， 当0?a?1时， 当a?1时， 当0?a?1时， a?1时，y?ax是增函数； a?1时，y?logax是增函数； 0?a?1时，y?ax是减函数 0?a?1时，y?logax是减函数 函数y?ax的图象与函数y?logax的图象关于直线y?x对称． 从上面的表格中，我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系，今天我们就对它们之间的关系来做一番研究．
（II）讲授新课：
师：在指数函数y?2x中，x为自变量，y是因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
生：由指数式y?2x可得对数式x?log2y．这样，对于任意一个y?(0,??)，通过式子x?log2y，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
师：你可以用几何方法来得到上面的结论吗？ 生：指数函数y?2x中，x为自变量(x?R)，y是x的函数(y?(0,??))，并且它是(??,??)上的单调递增函数．我们过y轴正半轴上任一点，作x轴的平行线，与y?2x的图象有且只有一个交点．这也说明，对于任
意一个y?(0,??)，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
师：这时我们称函数x?log2y(y?R)是函数y?2x(x?R)的反函数． 请同学们考虑，在函数x?log2y中，自变量、函数各是什么呢？这合乎我们的习惯吗？
生：在函数x?log2y中，y是自变量，x是函数．而习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数．
师：为了和我们的习惯一致，我们常常对调函数在函数x?log2y中的字母x，y，把它写成y?log2x．于是，对数函数y?log2x(x?(0,??))是指数函数
y?2x(x?R)的反函数．
请同学们仿照上面的过程，说明对数函数y?logax(a?0，且a?1)和指数函数y?ax(a?0，且a?1)之间的关系．
生：（探究、讨论得出结论）对数函数y?logax(a?0，且a?1)和指数函数y?ax(a?0，且a?1)互为反函数．
师：对于具体的指数函数y?ax(a?0，且a?1)，我们可以怎样得到它的反函数呢？
生：对于具体的指数函数y?ax(a?0，且a?1)，我们可以先把它化为对数形式x?log2y，然后再对调其中的字母x，y，就得到了它的反函数
y?logax(a?0，且a?1)．
师：请同学们观察一下对数函数y?logax(a?0，且a?1)和指数函数
y?ax(a?0，且a?1)的定义域和值域，你能得出什么结论？
生：指数函数y?ax(a?0，且a?1)的定义域和值域分别是对数函数
y?logax(a?0，且a?1)的值域和定义域．
师：请同学们观察对数函数y?log2x(x?(0,??))是指数函数y?2x(x?R)的图象，它们有什么关系呢？
生：（观察得）对数函数y?log2x(x?(0,??))是指数函数y?2x(x?R)的图象关于直线y?x对称．
师：这个结论可以推广到一般情况，即：对数函数y?logax(a?0，且a?1)和指数函数y?ax(a?0，且a?1)的图象关于直线y?x对称．
（用《几何画板》演示同底数的指数函数与对数函数图象间的关系） （Ⅲ）课后练习：阅读课本P84的《探究与发现》． （Ⅳ）课时小结
⒈求指数（对数）函数的反函数可分两步进行：
①将指数（对数）式化为对数（指数）式；②对调字母x，y； ⒉数学上可以证明，互为反函数的两个函数有如下性质： ①反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y?x对称． （Ⅴ）课后作业
⒈阅读课本P79～P80，思考下列问题：
⑴怎样的函数成为幂函数？怎样确定幂函数的定义域？
⑵幂函数的图象大致有几种形式？在第四象限内有幂函数的图象吗？为什么？
⑶幂函数在区间(0,??)内有怎样的单调性？ ⑷怎样确定幂函数的奇偶性？ 板书设计： §2.2.2对数函数及其性质（三） ⒈指数函数与对数函数的关系： ⒊反函数的性质 ⒉求指数（对数）函数的反函数： 小结： 预习提纲：
37174 - 《对数及其运算》学案2(人教B版必修1)
