欧阳索引创编 2024.02.02
奥数专题——裂项法（一）
欧阳家百（2024.03.07）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 （一）阅读思考
111??3412例如
，这里分母3、4是相邻的两个自然
数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
111??即nn?1n(n?1) 111??或n(n?1)nn?1
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】 例
1.
计
算
：
1111???……?1985?19861986?19871987?19881994?1995
分析与解答：
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上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例
1111???…?1?2?3?…?100 2. 计算：11?21?2?3公式的变式
当n分别取1，2，3，……，100时，就有
例3. 设符号（）、< >代表不同的自然数，问算式
111??6()??中这两个符号所代表的数的数的积是
多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，成
111??6()??111??6()??就变
111??，与前面提到的等式nn?1n(n?1)111??相联系，便可找到一组解，即6742
另外一种方法
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111??n、x、yx?ynxy设都是自然数，且，当x?n1?y。 上面的变加为减的想法，得算式nx1y时，利用
这里是个单位分数，所以x?n一定大于零，假定
x?n?t?0，则x?n?t，代入上式得
t1?n(n?t)y，即
n2y??nt。
又因为y是自然数，所以t一定能整除n，即t是n的
22约数，有n个t就有n个y，这一来我们便得到一个比
111??nn?1n(n?1)n2y??nt，t更广泛的等式，即当x?n?t，
，即
111??2nxy是n的约数时，一定有
n2y??nt上面指出当x?n?t，，t111??nxy定有
是n的约数时，一共有1，2，3，
22n?6,n?36，36，这里
4，6，9，12，18，36九个约数。 当t?1时，x?7，y?42 当t?2时，x?8，y?24 当t?3时，x?9，y?18
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奥数专题——裂项法(一)(含答案)-之欧阳家百创编
