2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
x2?x11?2的无穷间断点的个数为 (A) 函数f(x)?2x?1xA0 B1 C2 D3
2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使
?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则
1111,?? B???,??? 22222122C??,?? D??,??
3333A??(1) 曲线y?x与曲线y?alnx(a?0)相切，则a? A4e B3e C2e De 4.设m,n为正整数,则反常积分
2?1mln2(1?x)n0xdx的收敛性
A仅与m取值有关 B仅与n取值有关 C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关
5.设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则xAx 6.(4)lim
nnyzxx?z?z?y= ?x?y Bz C?x D?z
n= ??22x??i?1j?1(n?i)(n?j)x1x11dxdy B?0?0(1?x)(1?y)dy (1?x)(1?y2)A
?dx?010C
?10dx?1dy
0(1?x)(1?y)1D
?10dx?1dy0(1?x)(1?y2)
1?，?s线性表示，下列命题正确的是： 7.设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s
C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s
?1???12? B15.设A为4阶对称矩阵,且A?A?0,若A的秩为3,则A相似于A???1??0???1???1??1????????11?1??? ? D?C?????1??1??1???????0?00???? ?二填空题
9.3阶常系数线性齐次微分方程y????2y???y??2y?0的通解y=__________
2x3(1) 曲线y?2的渐近线方程为_______________
x?1(2) 函数y?ln(1?2x)在x?0处的n阶导数y?(n)(0)?__________
(3) 当0????时，对数螺线r?e的弧长为___________
(4) 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________
(5) 设A，B为3阶矩阵，且A?3,B?2,A?1?B?2,则A?B?1?__________ 三解答题
(6) 求函数f(x)?16.(1)比较
?x21(x2?t)e?tdt的单调区间与极值。
n2?10lnt[ln(1?t)]dt与?tnlntdt(n?1,2,L)的大小,说明理由.
01n (2)记un??lnt[ln(1?t)]dt(n?1,2,L),求极限limun.0x??1
?x?2t?t,5(t??1)所确定，其中?(t)具有2阶导数，且?(1)?，?2?y??(t),d2y3??(1)?6，已知2?,求函数?(t)。 dx4(1?t)十、一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当
设函数y=f(x)由参数方程
九、23b油罐中油面高度为2时，计算油的质量。
（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为十一、
?kg/m3）
?2u?2u?2u设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42?12?52?0.?x?x?y?y?2u确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下简化?0????
计算二重积分I???r2sin?1?r2cos2?drd?,其中D?｛(r,?)0?r?sec?,0???}.4 十二、D1十三、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3,证明：存在
???(0,),??(,1),使得f?(?)?f?(?)??2??2.十四、
1212
???设A??0?1?1??111??a????0?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1??????（1）求?、a.(2)求方程组Ax?b的通解。?0?14???1T(1,2,1)T，23.设A???13a?，正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵，若Q的第一列为6?4a0???求a、Q.
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