实用标准
（2）左极限
当x→x0时f（x）的左极限
定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作
或f（x0-0）=A （3）右极限
当x→x0时，f（x）的右极限
定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作
或f（x0+0）=A 例子：分段函数
，求
，
解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有
当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有
显然，函数的左极限
右极限与函数的极限之间有以下关系：
定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是
反之，如果左、右极限都等于A，则必有
x→1时f(x)→? x≠1
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。
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x→1f(x)→2 对于函数
，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。
2.当x→∞时，函数f（x）的极限 （1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1
定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作
或f（x）→A（当x→∞时） （2）当x→+∞时，函数f（x）的极限
定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作
这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？
x→+∞，f(x)=2+→2
例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+， x→+∞，f（x）=2+→2 所以
（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限
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定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作
x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+→2
例：函数
→2，即有
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。 例如函数
，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限
的极限是1，记作
地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时
其几何意义如图3所示。
，当x→-∞时，f（x）→？
解：当x→-∞时，-x→+∞
f(x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
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即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 （四）函数极限的定理 定理1.7（惟一性定理）如果定理1.8（两面夹定理）设函数（1）则有
。
也成立。
，（2）
存在，则极限值必定惟一。
在点的某个邻域内（可除外）满足条件：
注意：上述定理1.7及定理1.8对定理1.9如果（1）（2）（3）当（1）（2）（3）
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下面我们给出函数极限的四则运算定理
则
时，
时，
上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：
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用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。 另外，上述极限的运算法则对于（五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小） 定义对于函数常用希腊字母
，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变
，…来表示无穷小量。
化过程中，为无穷小量，一般记作
的情形也都成立。
定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是： 可表示为A与一个无穷小量之和。
注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。
（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。
（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。 例如：
振荡型发散 它不是无穷小量。
（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为2.无穷大量（简称无穷大） 定义；如果当自变量
（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），
。
或
。
则称在该变化过程中，为无穷大量。记作3.无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。
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（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但
。
注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成
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