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－?＝f??，且2<<3，所以b>a>c. ＝f??2??2?2命题点2 解函数不等式
例4设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( ) A．{x|－3 解析 ∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0， ∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0. ∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数， ∴当0 则不等式f(x)<0的解集是{x|0 例5 (1)(2024·全国Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是( A.ππ3π 4 B.2 C.4 D．π 答案 C 解析 ∵f(x)＝cos x－sin x＝－2sin??x－π 4??， ∴当x－π 4∈??－π2，π2??，即x∈??－π4，3π4??时， y＝sin?π ?x－4??单调递增， f(x)＝－2sin??x－π 4??单调递减， ∴??－π4，3π 4??是f(x)在原点附近的单调减区间， 结合条件得[0，a]???－π4，3π 4??， ∴a≤3π4，即a3π max＝4 . ) 1??x2＋2a－2，x≤1， (2)已知函数f(x)＝?若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范 ??ax－a，x>1，围为________． 答案 (1,2] 1 解析 由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a的 2取值范围为1 (3)(2024·呼伦贝尔模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______________． 答案 (－4,4] 解析 设g(x)＝x2－ax＋3a，根据对数函数及复合函数的单调性知，g(x)在[2，＋∞)上是增a??2≤2，函数，且g(2)>0，∴?∴－4 ??4＋a>0，∴实数a的取值范围是(－4,4]． 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小． (2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． ???2－a?x＋1，x<1，f?x1?－f?x2? 跟踪训练2 (1)如果函数f(x)＝?x满足对任意x1≠x2，都有>0成 x－x12?a，x≥1? 立，那么a的取值范围是________． 3? 答案 ??2，2? 解析 对任意x1≠x2，都有 f?x1?－f?x2? >0， x1－x2 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 2－a>0，?? 所以?a>1， ???2－a?×1＋1≤a， 3 解得≤a<2. 2 3? 故实数a的取值范围是??2，2?. (2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1?1) 解析 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数， 1?且满足f(2x－1) 312解得≤x<. 23 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ln(x＋2) 1?x C．y＝??2? 答案 A 解析 函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为( ) A．(－∞，1] C．(－∞，－1] 答案 B 解析 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)． 3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π) 解析 因为f(x)是偶函数， B．[3，＋∞) D．[1，＋∞) B．y＝－x＋1 1 D．y＝x＋ x 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2)， 即f(π)>f(－3)>f(－2)． ?1－2a?，x≤1，??f?x1?－f?x2? 4．已知函数f(x)＝?当x1≠x2时，<0，则a的取值范围是( ) 1x1－x2logx＋，x>1，a?3?10，? A.??3?10，? C.??2?答案 A f?x1?－f?x2?解析 当x1≠x2时，<0， x1－x2∴f(x)是R上的减函数． ?1－2a?，x≤1，?? ∵f(x)＝? 1 logx＋，x>1，a?3? x x 11? B.??3，2? 11?D.??4，3? ??0 ∴? 1 1－2a≥，??3 1∴0 3 0<1－2a<1， 2－x 5．函数f(x)＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( ) x＋1A．(1,2) C．[1,2) 答案 D 解析 因为f(x)＝1≤m<2，故选D. ??log2x，x≥1， 6．已知函数f(x)＝?则“c＝－1”是“函数f(x)在R上单调递增”的( ) ?x＋c，x<1，? B．(－1,2) D．[－1,2) 2－x3 ＝－1＋在(－1，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，所以n＝2，－x＋1x＋1 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2024届高考数学(文)一轮复习讲义 第2章 2.2 函数的单调性与最值
