贝塞尔曲面的 拼接研究
2012 年 1 月
Bezier曲线的连接及Bezier曲面的拼接
摘要
根据线动成面的思想由Bezier曲面的概念引入Bezier曲面的概念，Bezier实际上是先由控制顶点生成一个方向（设为v方向）上的Bezier曲线，然后在已竟形成的Bezier曲线上寻找控制顶点，生成另一个方向（设为u方向）上的Bezier曲线，形成控制网格，Bezier曲面是对该控制网格的逼近。同样，类似于Bezier曲线的性质介绍了Bezier曲面的端点性质、边界线位置、凸包性等比较常见的几个性质。几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来。同样的，复杂的曲面用Bezier曲面相互拼接起来实现。根据光滑连续性的条件考虑连接处的光滑，从而实现Bezier曲线的光滑连接以及Bezier曲面的拼接。
关键词：光顺连续性、Bezier曲线的连接、Bezier曲面的拼接、服装仿真
1 引言
在虚拟现实和视景仿真应用中，天空仿真是必不可少的内容。无论是地面还是空中、海上的视景仿真，天空背景的真实感对用户来说能大大提高视觉享受和沉浸感。但是就目前来看，大部分软件和仿真平台对真实天空的模拟还都不太尽人意，例如著名的VEGA 仿真平台，不同气候条件下的天空仅仅是在不同颜色背景下几层贴上云纹理的平面，从地面上看去，云层明显的有一条水平的终结线。而一旦进入这些云层，就更加明显的感到是穿过了几层毫无体积感的纹理平面。 在现实生活中，人们对天空是再熟悉不过了。真实的天空是非常复杂的，从视觉角度分析，就有霞、雾、晕、晴、阴等等各种自然现象，而且整个天球在空间上也不是均匀体现某种颜色的，而是随着每天时间和天气状况的不同，有着千变万化的变化。所以要完全仿真真实的天空，不仅要有图形学方面的知识，还要具备天文和大气物理学的知识，由于我们对这些知识不甚了了，只能对天空的仿真进行简化。但经过我们的改进，与以上所提及的天空仿真来相比，达到了一定的真实感增强。
Bezier曲面是由Bezier曲线交织而成的曲面，一个复杂的曲面往往不能用单一的Bezier曲面来实现，要用几块Bezier曲面拼接起来。下面介绍的就是如何将Bezier曲线光滑连接起来以及如何将Bezier曲面拼接起来。
2 基本理论
光顺：通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a）具有二阶几何连续性(G2)；b）不存在多余拐点和奇异点；c）曲率变化较小。
连续性：设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题，即为连续性问题。
曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为C nn或n阶参数连续性。另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于C 的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为G n。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在G n连续之中。
，若要求在结合处达到
图1 图2 图3
对于上图所示二条曲线P(t) 和Q(t)，参数
G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续：P(1) = Q (0) 。
若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢：
当
时，G1连续就成为C1连续。
（1）
若要求在结合处达到G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条
件下，并有公共的曲率矢：
代入(1－1)得：
这个关系为：
（2）
(3)
即Q”(0)在P”(1)和P’(1)确定的平面内。为任意常数。当
2
2
1
2
，
1
时，G连续就成为C连续。在弧长作参数的情况下，C连续保证G连续，C连续
能保证G2连续，但反过来不行。也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。
3 Bezier曲线的连接
几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)和Qj(j=0,1,..., m)，且令
，如图所示，我们现在把两条曲线连接起来。
（1）G0连续的充要条件是：Pn= Q0；
（2）G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn = Q，Q1三点共线，即（3）G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，并满足方程
（4）
图4
我们将以得到：
、
和
，
、
代入，并整理，可
（5）
选择和、选取。
的值，可以利用该式确定曲线段
连续条件所确定。要达到
的特征多边形顶点连续的话，只剩下顶点
，而顶点可以自由
已被
如果从上式的两边都减去
的线性组合：
，则等式右边可以表示为和
（6）
这表明
、
、
、
和
五点共面，事实上，在接合点两条曲
和
位于
直线
线段的曲率相等，主法线方向一致，我们还可以断定：的同一侧。
4 Bezier曲面的拼接
如图所示，设两张m×n次Bezier曲面片
（7）
分别由控制顶点
和
定义。
图5 Bezier曲面片的拼接
如果要求两曲面片达到
连续，则它们有公共的边界，即：
（8）
于是有
。
贝塞尔曲面的拼接研究
