1.3.3 最大值与最小值
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点 函数的最大(小)值与导数 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
思考4 怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的______；
(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.
类型一 求函数的最值
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例1 已知函数f(x)＝－x＋ax＋1(a∈R)，且f(x)在点(，f())处的切线垂直于y轴．
33(1)求实数a的值；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值．
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
ππ2
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝x－cos x，x∈[－，]的值域是________．
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(2)已知函数f(x)＝x－ax＋3x，若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]时的最值．
类型二 由函数的最值求参数
例2 (1)已知函数f(x)＝ax－6ax＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
(2)已知h(x)＝x＋3x－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．
3
2
3
2
3
2
跟踪训练2 (1)若函数f(x)＝3x－x在区间(a－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0.求a的值．
类型三 与最值有关的恒成立问题
例3 设函数f(x)＝tx＋2tx＋t－1(x∈R，t>0)． (1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
反思与感悟 (1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论． (2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略：
①a>f(x)恒成立?a>f(x)max，a
④a>f(x)能成立?a>f(x)min，a 跟踪训练3 (1)函数f(x)＝x－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－ 3 2 2 3 2 f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________． (2)已知函数f(x)＝x(x－a)(a∈R)，g(x)＝ln x．若在区间[1,2]上f(x)的图象在g(x)图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围． 类型四 利用导数证明不等式 12 例4 求证：当x>0时，ln(x＋1)>x－x. 2 反思与感悟 (1)解决本题首先要注意函数的定义域，再正确地构造出函数f(x)＝ln(x＋1)12 －x＋x，把问题转化为求函数f(x)的最值． 2(2)利用函数的最值证明不等式的基本步骤是： ①将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式； ②利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出． (3)证明y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)，即证不等式成立． 跟踪训练4 当x>0时，求证：1＋2x 2x2 ?π?1．函数y＝x－sin x，x∈?，π?的最大值是________． ?2? 2．若函数f(x)＝x－3x－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 3．若对任意的x＞0，恒有ln x≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是________． 4．设r为正有理数，求函数f(x)＝(1＋x) 1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值． 2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 提醒：完成作业 1.3.3 r＋1 3 2 －(r＋1)x－1(x>－1)的最小值．
2017_18版高中数学第1章导数及其应用1.3.3最大值与最小值学案苏教版选修
