2010年第27届全国物理竞赛复赛试题答案
一、参考解答:
1.以li表示第i个单摆的摆长,由条件(b)可知每一个摆的周期必需是40s的整数分之一,即
Ti?2πli40 (Ni为正整数) (1) ?gNi[(1)式和下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得,各单摆的摆长
li?依题意,0.450m?li?1.000m,由此可得
400g (2) 22πNi2020g (3) g?Ni?ππ0.45即
20?Ni?29 (4)
因此,第i个摆的摆长为
li?i li/m 1 2 3 400g (i?1,2,22π(19?i)4 5 6 (5) ,10)
7 8 9 10 2.20s
评分标准:本题15分.
第1小问11分.(2)式4分,(4)式4分,10个摆长共3分. 第2小问4分.
二、参考解答:
设该恒星中心到恒星-行星系统质心的距离为d,按照题意有
d??3L?? (1) 2将有关数据代入(1)式,得d?5?10AU.又按照质心的概念有
r?d?Md (2) m2式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径,即行星与恒星之间的距离.按照万有引力定律有
Mm?2π? G2?Md?? (3)
r?T?由(2)、(3)两式得
m?1?Mm?24π2d3 (4) ?2GTMd,把(3)式写为m[若考生用r表示行星到恒星行星系统质心的距离,从而把(2)式写为r?GMm?r?d?2?2π??Md??,则一样可取得(4)式,这也是正确的.] 利用(1)式,可得
?T?
2m?1?Mm?2?L????32π22GT (5)
(5)式就是行星质量m所知足的方程. 能够把(5)试改写成下面的形式
?mM?32?1?mM?L?????3π22GMT2 (6)
因地球绕太阳作圆周运动,按照万有引力定律可得
(1AU)3GMS ?22(1y)4π注意到M?MS,由(6)和(7)式并代入有关数据得
(7)
?m由(8)式可知
MS?32?1?mMS??8.6?10?10 (8)
由近似计算可得
m??1 MSm?1?10?3MS
(9)
由于mM小于1/1000,可近似利用开普勒第三定律,即
r3(1AU)3 T2?(1y)2 代入有关数据得
r?5AU 评分标准:本题20分.
(1)式2分,(2)式3分,(3)式4分,(5)式3分,(9)式4分,(11)式4分.
10)
11)
(
(
物理竞赛复赛试题答案
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