2010年第27届全国物理竞赛复赛试题答案
一、参考解答：
1．以li表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每一个摆的周期必需是40s的整数分之一，即
Ti?2πli40 （Ni为正整数） （1） ?gNi[(1)式和下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆长
li?依题意，0.450m?li?1.000m，由此可得
400g （2） 22πNi2020g （3） g?Ni?ππ0.45即
20?Ni?29 （4）
因此，第i个摆的摆长为
li?i li/m 1 2 3 400g (i?1,2,22π(19?i)4 5 6 （5） ,10)
7 8 9 10 2．20s
评分标准：本题15分．
第1小问11分．（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分． 第2小问4分．
二、参考解答：
设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为d，按照题意有
d??3L?? （1） 2将有关数据代入（1）式，得d?5?10AU．又按照质心的概念有
r?d?Md （2） m2式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.按照万有引力定律有
Mm?2π? G2?Md?? （3）
r?T?由（2）、（3）两式得
m?1?Mm?24π2d3 （4） ?2GTMd，把(3)式写为m[若考生用r表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为r?GMm?r?d?2?2π??Md??，则一样可取得(4)式，这也是正确的.] 利用（1）式，可得
?T?
2m?1?Mm?2?L????32π22GT （5）
（5）式就是行星质量m所知足的方程． 能够把(5)试改写成下面的形式
?mM?32?1?mM?L?????3π22GMT2 （6）
因地球绕太阳作圆周运动，按照万有引力定律可得
(1AU)3GMS ?22(1y)4π注意到M?MS，由（6）和（7）式并代入有关数据得
（7）
?m由（8）式可知
MS?32?1?mMS??8.6?10?10 (8)
由近似计算可得
m??1 MSm?1?10?3MS
（9）
由于mM小于1/1000，可近似利用开普勒第三定律，即
r3(1AU)3 T2?(1y)2 代入有关数据得
r?5AU 评分标准：本题20分．
（1）式2分，（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分．
10）
11）
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物理竞赛复赛试题答案
