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常见的辅助线的作法
总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等
条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”法构造全等三角形．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．
3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂
线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线
合一”的性质解题
2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可
以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连
线，出一对全等三角形。
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等
例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
A8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或
40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二
解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知 AB-BE <2AD 1 BDC ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D， 大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG, 显然BG＝FC， A在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知 EG＝EF E在△BEG中，由三角形性质知 FEG 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. ABDEC 解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG, 显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD， ∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG 故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 求证：∠BAC = 2∠DBC 证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = 12∠BAC 又∵AB = AC ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB = 90o A∵BD⊥AC 12∴∠DBC＋∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC D∴∠BAC = 2∠DBC BC（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） E（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求证：DE = DF 证明：连结AD. ∵D为BC中点， A∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD平分∠BAC EF∵DE⊥AB，DF⊥AC BDC∴DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F， 使AE = AF， 求证：EF⊥BC 证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC N∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC E∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o A∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA＋∠ACN = 90o F即∠BCN = 90o BC2 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… ∴NC⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB， ∠NDE = ∠E， ∵AB = AC， A∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB D∴BD = DN 又∵BD = CE B1C∴DN = EC NF2A在△DNF和△ECF中 E∠1 = ∠2 D∠NDF =∠E DN = EC B1CF2M∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF E（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略） ⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE， 连结DE 求证：DE⊥BC 证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则 ∠AFE =∠B 3 ∠AEF =∠C N∵AB = AC D∴∠B =∠C AM∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE FE∴∠AED =∠ADE B又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o C∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略） A作AM∥BC交DE于M，（过程略） （证法二）过点（证法三）过点
初二数学辅助线常用做法及例题（含答案）精编版
