【答案】（1）见解析（2）h?【解析】 试题分析：
215 5(1)利用题意首先证得AB?平面OA1C，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦
值是
10. 5试题解析：
（1）证明：如图所示，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA=CB，
所以OC?AB.由于AB?AA1，?BAA1?60?， 故AA1B为等边三角形，所以OA1?AB. 因为OC?OA1?O，所以AB?平面OA1C.
?平面OAC又AC1C 11，故AB?A
（2）由（1）知OC?AB，OA1?AB，又平面ABC?平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC?平面AA1B1B，故OA,OA1,OC两两相互垂直.
以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，OA为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A?1,0,0?,A10,3,0,C0,0,3,B??1,0,0?， 则BC=1,0，3，BB1?AA1??1,???????3,0?，AC??0，?13,3.
?设n??x,y,z?是平面BB1C1C的法向量，
??n?BC?0,??x?3z?0,则?即?可取n?n?BB?0,?1????x?3y?0.?3,1,?1,故cosn,A1C?10 5?n?A1CnA1C??10. 5 所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为
18．已知m?0，p:(x?2)(x?6)?0,q:2?m?x?2?m ． （I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若m?5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围 【答案】（I）4,???（Ⅱ）?3,?2???6,7 【解析】
试题分析：（1）p:?2?x?6，p是q的充分条件，[?2,6]是[2?m,2?m]的子集，所以
???m?0{2?m??2?m?4；（2）由题意可知p,q一真一假，当m?5时，q:?3?x?7，分别求出p真q假、2?m?6p假q真时x的取值范围，最后去并集就可以．
试题解析：
（1）p:?2?x?6，∵p是q的充分条件，∴[?2,6]是[2?m,2?m]的子集，
m?0{2?m??2?m?4，∴m的取值范围是[4,??)． 2?m?6（2）由题意可知p,q一真一假，当m?5时，q:?3?x?7，
p真q假时，由{?2?x?6x?3或x7?x??；
p假q真时，由{x?2或x6??3?x??2或6?x?7．
?3?x?7所以实数x的取值范围是[?3,?2)?(6,7]． 考点：含有逻辑联结词命题真假性．
19．已知i为虚数单位，m为实数，复数z?(m?i)(1?2i). （1）m为何值时，z是纯虚数？ （2）若|z|?5，求|z?i|的取值范围.
【答案】（1）?2；（2）[【解析】 【分析】
45,42] 5（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m的值； （2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案 【详解】
（1）z??m?i??1?2i???m?2???1?2m?i．
当??m?2?0时，即m??2时，z是纯虚数；
?1?2m?0（1）
z??m?2???1?2m?i
?可设复数z对应的点为P(x,y)，
则由??x?m?2，得2x?y?5?0，
?y?1?2m即点P在直线2x?y?5?0上， 又
z?5，
?点P的轨迹为直线2x?y?5?0与圆x2?y2?25相交的弦AB，
则z?i表示线段AB上的点到M(0,1)的距离PM，
由图象可知，当PM?AB时，距离最小，即点M到直线的距离， 则(PM)min?0?1?522?12?45 5由??2x?y?5?0?x?0?x?4得?或? 22x?y?25y?5y??3????A(0,5)，B(4,?3)
(PM)max?BM?(4?0)2?(?3?1)2?42，
?|z?i|的取值范围是[45,42].
5
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题． 20．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的方程为?2cos?2sin，直线C2的参数方程为{x??1?ty??1?t（t为参数）.
（1）将C1的方程化为直角坐标方程；
（2）P为C1上一动点，求P到直线C2的距离的最大值和最小值. 【答案】（1）?x?1???y?1??2（2）最大值是32和最小值是2. 【解析】
分析：（1）利用极坐标公式化成直角坐标方程.(2)先求出直线C2的直角坐标方程为x?y?2?0，再利用圆心到直线的距离求P到直线C2的距离的最大值是32和最小值是2. 2详解：（1）因为曲线C1的方程为??2cos??2sin?，则??2?cos??2?sin?，
22所以C1的直角坐标方程为x?y?2x?2y，即?x?1???y?1??2.
2222（2）因为直线C2的参数方程为??x??1?t（t为参数），
y??1?t?所以直线C2的直角坐标方程为x?y?2?0， 因为圆心C1?1,1?到直线C2的距离d?则直线与圆相离，
所以所求P到直线C2的距离的最大值是32和最小值是2.
点睛：(1)本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第2问的关键是数形结合.
1?1?22?22?2，
21．若f(x)是定义在(0,??)上的增函数，且f?（Ⅰ）求f(1)的值；
（Ⅱ）解不等式：f(x?1)?0； 【答案】（Ⅰ）f(1)?0（Ⅱ）x??1,2? 【解析】 【分析】
（Ⅰ）抽象函数求值，采用令值的方法；
?x???f(x)?f(y). ?y?（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出0对应的函数值，再根据函数单调性求不等式的解集. 【详解】
解：（1）在等式中令x?y?0，则f(1)?0 （2）∵f(1)?0
∴(x?1)?0?f(x?1)?f(1) 又f(x)是定义在(0,??)上的增函数
?x?1?1∴?
x?1?0?∴x??1,2? 【点睛】
（1）抽象函数中，如果要求解某个函数值，一般采取令值的方式去处理问题；
（2）函数值之间的不等关系，利用函数单调性，可将其转变为自变量之间的关系，从而完成求解. 22．观察以下等式： 13＝12
13+23＝（1+2）2 13+23+33＝（1+2+3）2 13+23+33+43＝（1+2+3+4）2
（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明． （2）设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n3+n，求S1．
【答案】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；证明见解析（2）2 【解析】 【分析】
（1）根据式子猜想出一般性结论，然后当n?1时，证明成立，假设n?k时，式子也成立，然后对n?k?1
新疆乌鲁木齐市2024届数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析
