空间向量与立体几何
一、平行与垂直问题 （一） 平行 ????设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面 ?,?的法向量分别为u,v，则
线线平行 ????l∥m?a∥b?a?kb； 线面平行
????l∥??a 面面平行 ?∥???u??a??u??0； ?u∥v?u?kv. 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。 （二） 垂直
????设直线l,m的方向向量分别为 ?a?,b，平面?? ?,?的法向量分别为u,v，则 线线垂直l⊥m?a⊥b?a?b?线面垂直 ????0； l⊥??a∥u?a?ku； 面面垂直
?⊥??u⊥v?u?v?0. 注意：画出图形理解结论 二、夹角与距离问题 （一） 夹角 ????设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面?,?的法向量分别为 u,v，则 ??a?b ①两直线l,m所成的角为?(0≤?≤? 2),cos????； ab ?? ②直线l与平面?所成的角为?(0≤?≤? 2),a?usin????； a?u?
③二面角?─l ─?的大小为?(0≤?≤?),u?vcos????. uv
（二）距离
点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.
(定理 )如图，设?n是平面?的法向量， AP是平面?的一条斜线，其中???A?? ????， 则点P到平面?P?的距离h?|A???P?n|?|n|. hn ?OA? ?
1．已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，
1
?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?DC?12，AB?1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD?面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
2．如图，在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,
平面VAD?底面ABCD． （Ⅰ）证明：AB?平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小．
证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
3．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA?底面ABCD，AB?3，BC?1，PA?2， VE为PD的中点.
DC
AB2
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE?面PAC，
并求出点N到AB和AP的距离.
4．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中
AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1.
（Ⅰ）求BF的长；
F （Ⅱ）求点C到平面AEC的距离. 1
5．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1，中，AD?AA1?1,AB?2，点E在棱AD上移动.（1）证明：
D1E?A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
3
（3）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为
?4.
6．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C,C1的一点，EA?EB1，已知AB?2,BB1?2,BC?1,?BCC1??3，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A?EB1?A1的平面角的正切值.
12
7．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，E是AB上
一点，PF?EC. 已知PD?2,CD?2,AE?,
求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离； （Ⅱ）二面角E?PC?
D的大小.
4
8.如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点。
（Ⅰ）求证：EF?平面PAB；
（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的大小。
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空间向量与立体几何
