?1?x?y?4,?1?x?y?4,???y?2?2x?3,?y?2?3?2x,?2x?3?0,?2x?3?0.?[解] （1）由已知得或?
解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.
(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C时，f(x, y)最大，C点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-1
例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。
?x?tcos??[解] 设直线OP的参数方程为?y?tsin?（t参数）。
代入已知圆的方程得t2-t?2sinα=0.
所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|.
所以|t-2sinα|=|2-tsinα|. 化简得t=2或t=-2或sinα=-1.
当t=±2时，轨迹方程为x2+y2=4；当sinα=1时，轨迹方程为x=0. 7．与圆有关的问题。
例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定ΔAT1T2垂心 的轨迹。
[解] 见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1T2与OM的交点，记BC=1。
以A为圆心的圆方程为x2+y2=16，连结OT1，OT2。因为OT2?MT2，T1H?MT2，所以OT2//HT1，同理OT1//HT2，又OT1=OT2，所以OT1HT2是菱形。所以2ON=OH。 又因为
2OT??OMT1T2，OT1MT1，所以1?ON?OM。设点
H坐标为（x,y）。
?xy?by?,??2OT22?，将坐标代入1=ON?OM，再由5x点M坐标为(5, b)，则点N坐标为?得
16???16?2?x???y???.5???5?
4在AB上取点K，使AK=5AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。
22例9 已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：sin(α+β)是定值。
???[证明] 过D作OD?AB于D。则直线OD的倾斜角为2所以2?
tan，因为OD?AB，
???2??1,
sin(???)?42??.5?????1?tan2???2? 2tan???所以
tan???2??12。所以
例10 已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。
[解] 以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα)，由题设|AD|=|AB|=2sinα，这里不妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(cosα+2sinα,sinα)，
所以|OD|=
(cos??2sin?)2?sin2??4sin2??4sin?cos??1
???2(sin2??cos2?)?3?3?22sin?2???.4??=
????22?22sin?2????224??因为，所以2?1?|OD|?2?1.
当
???38时，|OD|max=2+1；当
???78时，|OD|min=2?1.
例11 当m变化且m≠0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。
?a?2m?1,?[证明] 由?b?m?1消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。
|k(2m?1)?(m?1)?b|1?k2设公切线方程为y=kx+b，则由相切有2|m|=，对一切m≠0
成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0对一切m≠0成立
3?k??,??4???4k?3?0,37?b?7.??x??所以?k?b?1?0,即?4当k不存在时直线为x=1。所以公切线方程y=44和x=1.
三、趋近高考【必懂】
x?3???y?2??41.（2010江西理）8.直线y?kx?3与圆?相交于M,N两点，若MN?2322，则k的取值范围是
3????，??4????33?，???????0，33? C. ? D.
?3??，0??4? B. A. ??2??，0??3??
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离式，重点考察数形结合的运用.
公
解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当|MN|?23时，由点到直线
3[?,0]距离公式，解得4；
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取??，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A
2.（2010安徽文）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0 【答案】A
【解析】设直线方程为x?2y?c?0，又经过(1,0)，故c??1，所求方程为x?2y?1?0. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为
x?2y?c?0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以
用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.
?x?2?cos?,?y?x?b3.（2010重庆文）（8）若直线与曲线?y?sin?（??[0,2?)）有两个不
同的公共点，则实数b的取值范围为
（A）(2?2,1) （B）[2?2,2?2] （C）(??,2?2)(2?2,??) （D）(2?2,2?2) 【答案】D
?x?2?cos?,?22解析：?y?sin?化为普通方程(x?2)?y?1，表示圆，
2?b?1,因为直线与圆有两个不同的交点，所以法2：利用数形结合进行分析得
2解得2?2?b?2?2 AC?2?b?2,?b?2?2同理分析，可知2?2?b?2?2 ??x?3?3cos?,3?x?2????y?1?3sin????0,2???34.（2010重庆理）(8) 直线y=与圆心为D的圆
交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
7?A. 6 B. 45??33C. D.
5?4
【答案】C 解析：数形结合
??1???30? ?2?30????
由圆的性质可知?1??2
???30??30?????
4?????3故
5.（2010广东文）
6.（2010全国卷1理）（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，
2019年高考数学总复习宝典(完整版)
