?Fx?I1B?l?cos? （5）
因 ?l?cos???l 故 ?Fx?I1B?l
Fx??I1B?l?I1BPQ?I1BR （6）
由于导体弧PQ在y方向的合力为零，所以在t0时刻所受安培力的合力F1仅有x分量，即
F1?Fx?I1BR ?(10??33)R2???K?BR10r???(10??33)R2???K?(B0?Kt0)R （7）
10r??方向向左
同理，载流导体弧AC在t0时刻所受的安培力为
?(2??33)R2? F2?I2BR??K?BR
2r???(2??33)R2? ??K?(B0?Kt0)R （8）
2r??方向向右
左环所受的合力大小为
93 F?F1?F2?K(B0?Kt)0R3 （9）
5r方向向左
五、参考解答
分以下几个阶段讨论：
1．由于球壳外空间点电荷q1、q2的存在，球壳外壁的电荷分布不均匀，用?表示面电
荷密度．设球壳半径a?10cm时球壳外壁带的电量为Q1，因为电荷q1、q2与球壳外壁的电量Q1在球壳内产生的合场强为零，球壳内为电势等于U的等势区，在导体表面上的面元?S所带的电量为??S，它在球壳的球心O处产生的电势为?U1?k心O产生的电势U1为
U1???U1?k??Sa，球壳外壁所有电荷在球
???S?kQ1 （1）
aaq1q与k2，因球心O处的电势等于球d1d2点电荷q1、q2在球壳的球心O处产生的电势分别为k壳的电势，按电势叠加原理，即有
qqQk1?k2?k1?U （2） d1d2a代入数值后可解得球壳外壁的电量Q1为
第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第6页
?qq?U?a?1?2???8?10－9C k?d1d2?因球壳内壁无电荷，所以球壳的电量QⅠ等于球壳外壁的电量Q1，即
Q1?aQ＝Q??8?10－9C （3） Ⅰ1
2．当球壳半径趋于d1时（点电荷仍在球壳外），设球壳外壁的电量变为Q2，球壳外的电荷q1、q2与球壳外壁的电量Q2在壳内产生的合场强仍为零，因球壳内仍无电荷，球壳内仍保持电势值为U的等势区，则有
qqQ k1?k2?k2?U （4）
d1d2d1解得球壳外壁的电量
?qq?U?d1?1?2???16?10－9C k?d1d2?因为此时球壳内壁电量仍为零，所以球壳的电量就等于球壳外壁的电量，即
QⅡ＝Q2??16?10－9C （5）
Q2?d1在a?10cm到趋于d1的过程中，大地流向球壳的电量为
－9?Q＝QⅡ－QC （6） ⅠⅠ??8?103．当点电荷q1穿过球壳，刚进入球壳内（导体半径仍为d1），点电荷q1在球壳内壁感应出电量－q1，因球壳的静电屏蔽，球壳内电荷q1与球壳内壁电荷－q1在球壳外产生的合电场为零，表明球壳外电场仅由球壳外电荷q2与球壳外壁的电荷Q3所决定．由于球壳的静电屏蔽，球壳外电荷q2与球壳外壁的电荷Q3在球壳内产生的合电场为零，表明对电荷q2与Q3产生的合电场而言，球壳内空间是电势值为U的等势区．q2与Q3在球心O处产生的电势等于球壳的电势，即
k解得球壳外壁电量
Qq2?k3?U （7） d2d1qU?d12??6?10－9C （8） kd2球壳外壁和内壁带的总电量应为
QⅢ?Q3?(?q1)??16?10－9C （9）
Q3?d1在这过程中，大地流向球壳的电量为
?QⅡ?QⅢ?QⅡ?0 （10） 这个结果表明：电荷q1由球壳外极近处的位置进入壳内，只是将它在球壳外壁感应的电荷转至球壳内壁，整个球壳与大地没有电荷交换．
4．当球壳半径趋于d2时（点电荷q2仍在球壳外），令Q4表示此时球壳外壁的电量，类似前面第3阶段中的分析，可得
qQk2?k4?U （11） d2d2由此得
Q4?d2?q?U?d2?2???12?10－9C k?d2?球壳的电量QⅣ等于球壳内外壁电量的和，即
QⅣ＝Q4?(?q1)??22?10－9C （12） 大地流向球壳的电量为
第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第7页
?QⅢ?QⅣ-QⅢ??6?10－9C （13）
5．当点电荷q2穿过球壳，刚进入球壳内时（球壳半径仍为d2），球壳内壁的感应电荷变为－（q1＋q2），由于球壳的静电屏蔽，类似前面的分析可知，球壳外电场仅由球壳外壁的电量Q5决定，即
k可得
Q5?U （14） d2Q5?d2球壳的总电量是
U?4?10－9C kQⅤ＝Q5?(q1?q2)??22?10－9C （15）
在这个过程中，大地流向球壳的电量是
?QⅣ?QⅤ-QⅣ?0 （16）
6．当球壳的半径由d2增至a1?50cm时，令Q6表示此时球壳外壁的电量，有 k可得
Q6?U （17） a1Q6?a1球壳的总电量为
U?5?10－9C kQⅥ＝Q6?(q1?q2)??21?10－9C （18）
大地流向球壳的电量为
?QⅤ?QⅥ－QⅤ?1?10－9C （19）
六、参考解答
G2的速度大小为v2，1．在弹簧刚伸长至原长的时刻，设G1的速度的大小为v1，方向向上，方向向下，则有
m1v1?m2v2?0 （1）
11m1v2?m2v2?E0 （2） 1222解（1）、（2）两式，得
v1?v2?2m2E0 （3）
m1(m1?m2)2m1E0 （4）
m2(m1?m2)设G1升空到达的最高点到井口的距离为H1，则
2v1m2H1??E0 （5）
2gm1g(m1?m2)G1上升到最高点的重力势能
EP1?m1gH1?m2E0 （6）
m1?m2它来自弹簧的弹性势能，且仅为弹性势能的一部分．
2．在玩具自井底反弹向上运动至离井口的深度为h时，玩具向上的速度为
第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第8页
u?2gh （7）
设解除锁定后，弹簧刚伸长至原长时，G1的速度大小为V1，方向向上，G2的速度大小为V2，方向向下，则有
m1V1?m2V2?(m1?m2)u （8）
11122mV?mV?(m1?m2)u2?E0 （9） 1122222消去（8）、（9）两式中的V2，得V1的方程式
?由此可求得弹簧刚伸长至原长时，G1和G2的速度分别为
V1?u? V2??u? m1?1???m1??m1?2m1?2V?2m1?uV?m1???1?u?2E0?0 1?1?m2?1mm2?2???2E0m2 （10）
m1(m1?m2)2E0m1 （11）
m2(m1?m2)?，则有 设G1从解除锁定处向上运动到达的最大高度为H22E0m2?1????u? H2??
2g2g?m(m?m)112???V122?h?m2E0E0m2h ?2m1g(m1?m2)m1g(m1?m2)m2E0E0m2h （12） ?2m1g(m1?m2)m1g(m1?m2)从井口算起，G1上升的最大高度为
??h? H2?H2讨论：
可以看出，在第二方案中，G1上升的最大高度H2大于第一方案中的最大高度H1，超出 的高度与解除锁定处到井口的深度h有关．到达H2时，其重力势能为 EP2?m1gH2?m2E0mmEgh?2120 （13）
m1?m2m1?m2（ⅰ）若EP2?E0 （14） 即 2这要求
h?m1m2E0ghmE?10
m1?m2m1?m2E0m1 （15）
4m2g(m1?m2)这时，G1升至最高处的重力势能来自压紧的弹簧的弹性势能，但仅是弹性势能的一部分．在这一条件下上升的最大高度为
E H2?0
m1g（ⅱ）若EP2?E0 （16） 即 2这要求
第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第9页
m1m2E0ghmE?10
m1?m2m1?m2 h?E0m1 （17）
4m2g(m1?m2)此时G1升至最高处的重力势能来自压紧的弹簧的弹性势能，且等于全部弹性势能．在这一条 件下，G1上升的高度为 H2?E0 m1g（ⅲ）若EP2?E0 （18） 即 2这要求
m1m2E0ghmE?10
m1?m2m1?m2E0m1 （19）
4m2g(m1?m2)此时G1升至最高处的重力势能大于压紧的弹簧的弹性势能，超出部分的能量只能来自G2的机
h?械能．在这个条件下，G1上升的最大高度为 H2?
E0 m1g 第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第10页
第18届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
