第十八届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
一、参考解答
1. 对于一个望远系统来说,从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线,它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行,即像点也在主光轴上无限远处,如图复解18-1-1所示,图中C1为左端球面的球心.
由正弦定理、折射定律和小角度近似得
AF1?R1sinr1r111???? (1) R1sin(i1?r)i?r(i/r)?1n?111111即
AF11?1? (2) R1n?1光线PF1射到另一端面时,其折射光线为平行于主光轴的光线,由此可知该端面的球心C2一定在端面顶点B的左方,C2B等于球面的半径R2,如图复解18-1-1. 仿照上面对左端球面上折射的关系可得 BF11?1? (3) R2n?1又有 BF1?L?AF1 (4) 由(2)、(3)、(4)式并代入数值可得
R2?5cm (5) 即右端为半径等于5cm的向外凸的球面.
2. 设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示,令①过C1,②过A,如图复解18-1-2所示,则这两条光线经左端球面折射后的相交点M,即为左端球面对此无限远物点成的像点.现在求M点的位置。在?AC1M中
R1AMAC?? (6)
sin(???1)sin?1sin(?1??1?)又 nsin?1??sin?1 (7) 已知?1,?1?均为小角度,则有
AM?1
?R11?1(1?)n (8)
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与(2)式比较可知,AM?AF1,即M位于过F1垂直于主光轴的平面上.上面已知,玻璃棒为天文望远系统,则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线.容易看出,从M射出C2的光线将沿原方向射出,这也就是过M点的任意光线(包括光线①、②)从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为?2,由图复18-1-2可得
?1C1F1AF1?R1?? (9) ?2C2F1BF1?R2由(2)、(3)式可得
AF1?R1BF1?R2则
?R1 R2?2R1??2 (10) ?1R2
二、参考解答
1.已知在海平面处,大气压强p(0)?101.3?103Pa.如图复解18-2-1,在z?5000m处,大气压强为p(5000)?53?103Pa。 (1)
此处水沸腾时的饱和蒸气压pw应等于此值.由图复解18-2-2可知,对应的温度即沸点为
t1?82?C (2) 达到此温度时锅内水开始沸腾,温度不再升高,故在5000m高山上,若不加盖压力锅,锅内温度最高可达82℃.
2.由图复解18-2-2可知,在t?120℃时,水的饱和蒸气压pw(120?)?198?103Pa,而在海平面处,大气压强p(0)?101?103Pa.可见压力阀的附加压强为
pS?pw(120?)?p(0)
?198?103?101.3?103
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?96.7?103Pa (3)
在5000m高山上,大气压强与压力阀的附加压强之和为
p??pS?p(5000)?96.7?103?53?103?149.7?103Pa (4) 若在t?t2时阀被顶起,则此时的pw应等于p?,即
pw?p? (5)
由图复解18-2-2可知
t2?112℃ (6)
此时锅内水开始沸腾,温度不再升高,故按正确方法使用此压力锅,在5000m高山上锅内水的温度最高可达112℃.
3.在未按正确方法使用压力锅时,锅内有空气,设加压力阀时,内部水蒸汽已饱和.由图复解18-2-2可知,在t?27℃时,题中已给出水的饱和蒸气压pw(27?)?3.6?103Pa,这时锅内空气的压强(用pa表示)为
pa(27?)?p(5000)?pw(27?)?(53?10?3.6?10)Pa33
?49.4?103Pa (7)
当温度升高时,锅内空气的压强也随之升高,设在温度为t℃时,锅内空气压强为pa(t),则有
pa(t)p(27?) ?a273?t273?27 pa(t)?(164.7t?45.0?103)Pa (8) 若在t?t?时压力阀刚好开始被顶起,则有
pw(t?)?p2(t?)?p? (9)
由此得
pw(t?)?p??pa(t?)?(105?103?164.7t?)Pa (10)
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画出函数p??pa(t?)的图线, 取t?0,p??pa(0?)?105?103Pa
??p?0?) t?100,pa(1038?8.6 10Pa由此二点便可在图复解18-2-2上画出此直线,此直线与图复解18-2-2中的pw(t)~t曲线的交点为A,A即为所求的满足(10)式的点,由图可看出与A点对应的温度为
t??97℃ (11)
即在压力阀刚开始被顶起时,锅内水的温度是97℃,若继续加热,压力阀被顶起后,锅内空气随水蒸汽一起被排出,最终空气排净,锅内水温仍可达112℃.
三、参考解答
为使氢原子从基态跃迁到激发态,需要能量最小的激发态是n?2的第一激发态.已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比.
1 En?K2 (1)
n又知基态(n?1)的能量为-13.58eV,即
1??13.58eV 12所以 K??13.58e Vn?2的第一激发态的能量为
11E2?K2??13.58???3.39eV (2)
42为使基态的氢原子激发到第一激发态所需能量为
E内?E2?E1?(?3.39?13.58)eV=10.19eV (3)
E1?K这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量,即
h??E内?10.19eV=10.19?1.602?10-19J=1.632?10-18J (4) 式中?为光子的频率,从开始碰到发射出光子,根据动量和能量守恒定律有
mv0?mvA?mvB?光子的动量 (5)
12122mv0?m(vA?vB)?h? (6) 222h?h?h?光子的动量p??。由(6)式可推得mv0?,因为v0??c,所以mv0??,故(5)
v0cc式中光子的动量与mv0相比较可忽略不计,(5)式变为
mv0?mvA?mvB?m(vA?vB) (7)
符合(6)、(7)两式的v0的最小值可推求如下:由(6)式及(7)式可推得
121mv0?m(vA?vB)2?mvAvB?h?22
12?mv0?mvA(v0?vA)?h?22mvA?mvAv0?h??0
经配方得
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1?12?m?vA?v0??mv0?h??0
2?4?2121??mv0?h??m?vA?v0? (8) 42??1由(8)式可看出,当vA?v0时,v0达到最小值v0min,此时
2vA?vB (9)
2v0min?2h? (10) m代入有关数据,得
v0min?6.25?104m/s (11) 答:B原子的速度至少应为6.25?104m/s.
四、参考解答
1.求网络各支路的电流. 因磁感应强度大小随时间减少,考虑到电路的对称性,可设两环各支路的感应电流I1、I2的方向如图复解18-4-1所示,对左环电路ADCFA,有关系 ??I1rCFA?I2rADC 因
rCFA?故
5rr,rADC?,??K?R2 665rr?I2 (1) 66因回路ADCEA所围的面积为
?2??33?22????R 12??故对该回路有
K?R2?I1??2??33?2?rK?2?R?2I (2) ??2????126????解得
(2??33)R2I2?K (3)
2r代入(1)式,得
(10??33)R2I1?K (4)
10r2.求每个圆环所受的力.
先求左环所受的力,如图复解18-4-2所示,将圆环分割成很多小圆弧,由左手定则可知,每段圆弧所受的力的方向均为径向,根据对称性分析,因圆弧PMA与圆弧CNQ中的电流方向相反,所以在磁场中受的安培力相互抵消,而弧PQ与弧AC的电流相对x轴上下是对称的,因而每段载流导体所受的安培力在y方向的合力为零,以载流导体弧PQ上的线段?l?为例,安培力?F为径向,其x分量的大小表示为
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