第九章 振动
9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为?动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）
A，且向x 轴正方向运2
题９-１ 图
分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）．
9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ）
22?2??2?A?x?2cos?????πt?πcm Cx?2cosπt?π??cm????3?3??3?3
42?2??4?B?x?2cos?????πt?πcm Dx?2cosπt?π??cm????3333????
题９-２ 图
分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A/2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为2π/3．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A 处所需时间为1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差Δ出正确答案．
?4π/3，则角频率
ω?Δ/Δt??4π/3?s?1，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找
9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比x2 的相位（ ） （A） 落后
ππ （B）超前 （C）落后π （D）超前π 22分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b） 即可得到答案为（b）．
题９-３ 图
9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ） （A）
v （B）v （C）2v （D）4v 21222分析与解 质点作简谐运动的动能表式为Ek?m?Asin??t???，可见其周期为简谐
29-5 图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦
运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C）． 振动的初相位为（ ） （A）
13π （B）π （C）π （D）0
22分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差
Acos?ωt?π?．它们的振幅不同．对2A于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为x1?cos?t．因
2是?（即反相位）．运动方程分别为x1?Acos?t和x2?而正确答案为（D）．
题９-５ 图
9-6 有一个弹簧振子，振幅A?2.0?10?2m，周期T?1.0s，初相它的运动方程，并作出x?t图、v?t图和a?t图．
?3π/4．试写出
题９-6 图
分析 弹簧振子的振动是简谐运动．振幅A、初相?、角频率?是简谐运动方程
x?Acos??t???的三个特征量．求运动方程就要设法确定这三个物理量．题中除A、?已知
外，?可通过关系式ω?2π/T确定．振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．
解 因ω?2π/T，则运动方程
x?Acos?ωt?根据题中给出的数据得
2πt??Acos????T?? ?x?2.0?10?2cos?2πt?0.75π? ?m?
振子的速度和加速度分别为
v?dx/dy??4π?10?2sin?2πt?0.75π? m?s-1 a?d2x/d2y??8π?10?2cos?2πt?0.75π? m?s-1
????x?t、v?t及a?t图如图所示．
9-7 若简谐运动方程为x?0.10cos?20πt?0.25π??m?，求：（1） 振幅、频率、角频率、
周期和初相；（2）t?2s时的位移、速度和加速度．
分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式
??t???作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、x?Acos加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果．
解 （1） 将x?0.10cos?20πt?0.25π??m?与x?Acos??t???比较后可得：振幅A ＝0.10m，角频率ω?20πs?1，初相?＝0.25π，则周期T?2π/ω?0.1s，频率v?1/THz．
（２）t?2s时的位移、速度、加速度分别为
x?0.10cos?40πt?0.25π??7.07?10?2m
v?dx/dt??2πsin?40π?0.25π???4.44m?s-1
a?d2x/d2t??40π2cos?40π?0.25π???2.79?102m?s-2
9-8 一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．
分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足F??kx，则货轮作简谐运动．通过F??kx即可求得振动周期T?2π/ω?2πm/k．
证 货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F ＝mg．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x 轴正向，如图（b）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为
?F?P?F?
其中F?为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为
F??F??gSx?mg??gSx
题９-８ 图
则货轮所受合外力为
?F?P?F????gSx??kx
式中k??gS是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．
由
2?F?mdx/dt可得货轮运动的微分方程为
22d2x/d2t??gSx/m?0
令???gS/m，可得其振动周期为
T?2π/ω?2πm/ρgS
9-9 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度??5.5?10kg?m．现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m 的质点在此隧道内作无摩擦运动．（1） 证明此质点的运动是简谐运动；（2） 计算其周期．
3?3
题９-９ 图
分析 证明方法与上题相似．分析质点在隧道内运动时的受力特征即可． 证 （1） 取图所示坐标．当质量为m 的质点位于x处时，它受地球的引力为
大学物理-马文蔚-第五版-下册-第九章到第十一章课后答案
