初三数学平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形
一. 本周教学内容：
平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形 二. 教学过程： 问题：在平面直角坐标系内已知一边（比如线段AB），按要求在坐标系内取一点（比如P），使△PAB为等腰三角形（直角三角形、等腰直角三角形）
解题思路：按已知的边在特殊三角形中所“扮演”的角色进行分类讨论，具体如下： （1）当要构造的特殊三角形为等腰三角形时：
①如果已知的边AB“扮演”底边，则要作AB的中垂线，点P一定在中垂线上。
②如果已知的边AB“扮演”腰，且A为要构造的等腰三角形的顶点，则要以A为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。
③如果已知的边AB“扮演”腰，且B为要构造的等腰三角形的顶点，则要以B为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。
（2）当要构造的特殊三角形为直角三角形时：
①如果已知的边AB“扮演”斜边，则要以AB为直径画圆，点P一定在这个圆上。
②如果已知的边AB“扮演”直角边，且A为直角顶点，则要过A作AB的垂线，点P一定在这条垂线上。
③如果已知的边AB“扮演”直角边，且B为直角顶点，则要过B作AB的垂线，点P一定在这条垂线上。 【典型例题】
例1. 如图所示，在直角坐标系中，点A（2，1），在坐标轴上求一点B，使△AOB是等腰三角形，并确定点B的坐标。
解：情形1：当OA为△AOB的底边时，作OA的中垂线，和x、y轴分别交于B1、B2，如图
（1）
图（1）
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∵在Rt△AOC中，OC?2，AC?1 ∴AO?5
∵B52B1是OA的中垂线
∴OE?2 又∵∠OEB1?∠OCA?90? ∠EOB1?∠COA
5∴??EBOEOB1OB11~?OCA ∴OC?OA，即22?5 ∴OB1?54
∴B（514，0）同理可得：B2（0，52） 情形2：当OA为腰且A为顶点时，以A为圆心，AO长为半径画圆，如图（2）
图（2）
易得：B3（4，0），B4（0，2）
情形3：当OA为腰且O为顶点时，以O为圆心，AO长为半径画圆，如图（3）
图（3）
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2
易得：B5（5，0），B6（0，?5）
B7（?5，0），B8（0，5）
例2. 已知：在直角坐标系中，点A（?1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足这样条件的点P有多少个？（ ） A. 8个 B. 6个 C. 4个 D. 2个 解：情形1：当AB为斜边时，作以AB为直径的圆 ∵A（?1，0），B（1，2）
∴在Rt△ABC中，AC＝BC＝2 ∴∠BAC＝45° ∴OD＝1
∴AD?2?12AB，即D是AB的中点
∴即画以D为圆心，AD长为半径的圆，如图（1）
图（1）
易得：P1（0，1?2），P2（0，1?2），P3（1，0）
情形2：当AB为直角边，且A为直角顶点时，过点A作AB的垂线，如图（2）：
图（2）
易得：P4（0，?1）
情形3：当AB为直角边，且B为直角顶点时，过点B作AB的垂线，如图（3）：
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3
图（3）
易得：P5（3，0），P6（0，3）
∴满足这样条件的点P有6个
例3. 在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm、宽为14cm的长方形纸板上剪下一个腰长为12cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。请你画出设计方案的示意图，并通过计算说明哪种情况剪下的等腰三角形的面积最小。
解：分三种情况：
（1）如图①，当AE＝AF＝12时，S三角形AEF?1AE·AF?72(cm2) 2 D C E A F B
图①
（2）如图②，当AE＝EF＝12时，DF?EF2?DE2?122?22?235
S三角形AEF?11AE·DF?×12×2?1235(cm2) 22 D F C E A B
图②
（3）如图③，当AE＝EF＝12时，BF?EF2?BE2?122?62?63
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S三角形AEF?11AE·BF?×12×63?363(cm2) 22 D C F A E B
图③
比较上述计算可知第（3）种情况剪下的等腰三角形的面积最小。
例4. 在直角坐标系xOy中，已知点A、B、C的坐标分别为A（?2，0）、B（1，0）、C（0，
?23），求：
（1）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求出顶点D的坐标； （2）在y轴上求一点P，使PA?PD最小，求出P点坐标；
（3）在第三象限中，是否存在点M，使AC为等腰△ACM的一边，且底角为30°。如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）将（3）题中的“第三象限”改为“坐标平面xOy”，其余条件不变，请直接写出符合条件的点M的坐标（只写结果，不需要解答过程）。
解：（1）设二次函数的解析式为y?a?x?2??x?1?（a不为0） 且过C0，?23，代入解得：a?∴所求解析式为y???3
3?x?2??x?1?
2
9?1?9?1?3? 即y?3x2?3x?23?3?x???∴所求顶点坐标为??，?3
?2?4?2?4 （2）看图易知A点关于y轴的对称点A'的坐标为（2，0），连接A'D，交y轴于点P，点
P为所求。
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