章末检测
一、选择题
1.由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是( ) A.归纳推理 C.类比推理 答案 A
2.在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( ) A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF为中位线 D.EF∥BC 答案 A
解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.
3.用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A.假设2是有理数 C.假设2或3是有理数 答案 D
解析 应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数. 1
4.若A是△ABC的一个内角，cos A＞，则A的取值范围是( )
2π0，? A.??6?ππ?C.??6，2? 答案 B
1
解析 ∵A是△ABC的一个内角，∴A∈(0，π)，又cos A＞，且y＝cos A在(0，π)上是减函
2π
数，∴0＜A＜.
3
2f?x?
5.已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )
f?x?＋24
A.x 2＋2
B.演绎推理 D.特殊推理
B.假设3是有理数 D.假设2＋3是有理数
π0，? B.??3?ππ?D.??3，2?
2B. x＋1
1
1C. x＋1答案 B
2D. 2x＋1
2f?1?22
解析 当x＝1时，f(2)＝＝＝，
f?1?＋232＋12f?2?22
当x＝2时，f(3)＝＝＝，
f?2?＋243＋12f?3?22
当x＝3时，f(4)＝＝＝，
f?3?＋254＋12
故可猜想f(x)＝，故选B.
x＋16.设有两个命题：
①关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立； ②函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数.
若命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，－2] C.[2，＋∞) 答案 A
解析 若①为真，则Δ＝4a2－16＜0.即－2＜a＜2；若②为真，则5－2a＞1，即a＜2.当①真②假时，无解；当①假②真时，a≤－2.
x
7.在R上定义运算⊙：x⊙y＝.若关于x的不等式(x－a)⊙(x＋1－a)＞0的解集是集合{x|
2－y－2≤x≤2，x∈R}的子集，则实数a的取值范围是( ) A.[－2,2] B.[－1,2] C.[1,2) D.[－2,1] 答案 D
解析 由定义知(x－a)⊙(x＋1－a)＝
x－ax－ax－a
＝＝－，∴不等式为－
2－?x＋1－a??1＋a?－xx－?1＋a?B.(－∞，2) D.(－2,2)
x－ax－a
＞0，＜0的解集为{x|a＜x＜a＋1}，也就是{x|－2≤x≤2}的子集，
x－?1＋a?x－?1＋a?
??a≥－2，∴?解得－2≤a≤1. ?1＋a≤2，?
8.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立. 其中判断正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
2
答案 B
解析 若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确.a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确.由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确. 11
9.数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 015等于( )
2an1
A. B.－1 C.2 D.3 2答案 B
11
解析 ∵a1＝，an＋1＝1－，
2an
1111
∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，
a1a2a3211
a5＝1－＝－1，a6＝1－＝2，
a4a5∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*) ∴a2 015＝a2＋3×671＝a2＝－1.
10.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数.已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值( ) A.恒小于0 C.可能等于0 答案 A
解析 不妨设x1－2<0，x2－2>0， 则x1<2，x2>2，∴2
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 按此规律，第n个等式可为________.
答案 (n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)
111357
12.f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测
23n222当n≥2时，有________________.
3
B.恒大于0 D.可正也可负
2＋n
答案 f(2n)>(n≥2)
2
解析 观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)， 2＋k
不等式右侧分别为，k＝1,2，…，
22＋n
∴f(2n)>(n≥2).
213.用数学归纳法证明：1＋
1112n＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋nn＋1
＋1左边需要添加的项是________. 答案
2
?k＋1??k＋2?
12
解析 由n＝k到n＝k＋1时，左边需要添加的项是＝.
1＋2＋3＋…＋?k＋1??k＋1??k＋2?14.设S，V分别表示表面积和体积，如△ABC的面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积→→→→
用VO－ABC表示，对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到→→→
平面的情形时，应该有：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有_________________. →→→→
答案 VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0 三、解答题
ac
15.设a，b，c三数依次成等比数列，而x，y分别为a，b和b，c的等差中项，试证：＋＝xy2.
ab
证明 依题意，a，b，c依次成等比数列，即＝.
bca＋bb＋cab
由比例性质有＝，又由题设x＝，y＝，
22a＋bb＋cac2a2c2b2c2?b＋c?
因而＋＝＋＝＋＝＝2.
xya＋bb＋cb＋cb＋cb＋c1
16.证明：对于任意实数x，y，都有x4＋y4≥xy(x＋y)2.
21
证明 要证x4＋y4≥xy(x＋y)2，
2只需证2(x4＋y4)≥xy(x＋y)2， 即证2(x4＋y4)≥x3y＋xy3＋2x2y2.
只需x4＋y4≥x3y＋xy3与x4＋y4≥2x2y2同时成立即可. 又知x4＋y4－2x2y2＝(x2－y2)2≥0显然成立， 即x4＋y4≥2x2y2成立，
4
只需再证x4＋y4≥x3y＋xy3即可. 而x4＋y4－x3y－xy3＝(x－y)(x3－y3)， ∵x－y与x3－y3同号，
∴(x－y)(x3－y3)≥0，即x4＋y4≥x3y＋xy3成立， 1
∴对于任意实数x，y，都有x4＋y4≥xy(x＋y)2.
2
17.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明 (1)因为E，F分别为A1B，A1C的中点，所以EF∥BC, 又EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱， 所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D， 又A1D⊥B1C，
所以A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D?平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C. 18.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶6. a＋ba求证：＝.
ba＋b＋ca＋ba
证明 要证＝，
ba＋b＋c只需证a2＋ab＋ac＝ab＋b2， 即证a(a＋c)＝b2.
由正弦定理，只需证sin A(sin A＋sin C)＝sin2B. ∵A∶B∶C＝1∶2∶6， π26∴A＝，B＝π，C＝π，
999ππ62即sin(sin＋sinπ)＝sin2π，
9999
5
ππ32即sin(sin＋sinπ)＝sin2π，
9999π2ππ2即sin ·2sin cos ＝sin2π，
9999ππ2
即2sin cos ＝sin π，显然成立.
999a＋ba
∴＝成立. ba＋b＋c
6
（完整word版）高中数学选修2-2推理与证明单元测试卷
