第2课时 集合的表示
1．掌握用列举法表示有限集． 2．理解描述法格式及其适用情形．
3．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母．
1．观察下列集合： ①方程x－4＝0的根； ②20的所有正因数组成的集合．
(1)上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？ (2)如何表示上述两个集合？
[答案] (1)能．①中的元素为－2,2；②中的元素为1,2,4,5,10,20
2
(2)用列举法表示 2．观察下列集合： ①不等式x－2≥3的解集；
②函数y＝x－1的图象上的所有点． (1)这两个集合能用列举法表示吗？
(2)你觉得用什么方法表示这两个集合比较合适？ [答案] (1)不能 (2)利用描述法
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( ) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( ) (4)集合{x|4 题型一用列举法表示集合 【典例1】 用列举法表示下列集合： (1)方程x(x－1)＝0的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的非负偶数集； (3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合． [思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数． [解] (1)方程x(x－1)＝0的实数根为0,1， 故其实数根组成的集合为{0,1}． (2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}． (3)由? ?y＝x? 2 2 2 ??y＝2x－1 ，解得? ?x＝1，???y＝1. 故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1,1)}． 用列举法表示集合的3个步骤 [针对训练] 1．用列举法表示下列集合： (1)我国现有的所有直辖市； (2)绝对值小于3的整数集合； 24 (3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合． 33 [解] (1)我国现有的直辖市有北京市、天津市、上海市和重庆市，故我国现有的所有直辖市组成的集合为{北京市，天津市，上海市，重庆市}． (2)绝对值小于3的整数有－2，－1,0,1,2，故绝对值小于3的整数集合为{－2，－1,0,1,2}． ?y＝x－1， (3)由? ?? ?y＝－x＋，2343 7x＝，??5解得?2 y＝??5. ??72??24 故一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合为??，??. 33??55?? 题型二用描述法表示集合 【典例2】 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (4)不等式3x－2<4的解集． [思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征． [解] (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． * * (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． (4)不等式3x－2<4可化简为x<2， 所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}． 用描述法表示集合应注意的3点 (1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． (2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． (3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． [针对训练] 2．用描述法表示下列集合： (1)所有被5整除的数； (2)方程6x－5x＋1＝0的实数解集； (3)直线y＝x上去掉原点的点的集合． [解] (1)被5整除的数可用式子x＝5n，n∈Z表示，所以所有被5整除的数的集合可表示为{x|x＝5n，n∈Z}． 1122 (2)由6x－5x＋1＝0解得x＝或x＝，所以方程6x－5x＋1＝0的实数解集为 23 ???11 ?x?x＝或x＝ 23??? 2 ?? ?. ?? (3)直线y＝x上除去原点，即x≠0，所以直线y＝x上去掉原点的点的集合为{(x，y)|y＝x，且x≠0}. 题型三集合表示方法的应用 【典例3】 (1)若集合A＝{x|ax－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( ) A．1 C．0 B．4 D．0或1 2 (2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________． [思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征． [解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0. ∴x＝2，此时A＝{2}； ②当a≠0时，由集合A中只有一个元素， ∴方程ax－8x＋16＝0有两个相等实根， 则Δ＝64－64a＝0，即a＝1. 从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}． 综上所述，实数a的值为0或1.故选D． (2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1. [答案] (1)D (2)k<1 [变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围． (2)本例(2)中条件“－2∈A”改为“－2?A”，其他条件不变，求k的取值范围． [解] (1)由题意可知方程ax－8x＋16＝0有两个不等实根． ??a≠0，∴? ?Δ＝64－64a>0，? 2 2 解得a<1，且a≠0. (2)∵－2?A，∴－2k＋2≤0，得k≥1. 集合表示方法的应用的注意点 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键． (2)与方程ax－8x＋16＝0的根有关问题易忽视a＝0的情况． [针对训练] 3．已知集合A＝{x|x－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值． [解] 由A＝{2,3}知，方程x－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得， ??2＋3＝a，???2×3＝b， 2 2 2 因此a＝5，b＝6. ???6∈N 4．设集合B＝?x∈N? ?2＋x?? ?? ?. ?? (1)试判断元素1,2与集合B的关系； (2)用列举法表示集合B. 6 [解] (1)当x＝1时，＝2∈N. 2＋1
2024-2024学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的表示
