全国20XX年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式A．m?n
a1b1a2bb2b1?m，1?n，则b2c1c2a1?c1B．n?m
C．m?n
b2?（ B ）
a2?c2
D．?(m?n)
b1a1?c1b2b?1a2?c2a1b2bb2?1??m?n?n?m． a2c1c22．设A , B , C均为n阶方阵，AB?BA，AC?CA，则ABC?（ D ） A．ACB
B．CAB C．CBA D．BCA
ABC?(AB)C?(BA)C?B(AC)?B(CA)?BCA． 3．设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且|A|?1，|B|??2，则行列式||B|A|之值为（ A ） A．?8
B．?2
C．2
D．8
||B|A|?|?2A|?(?2)3|A|??8． ?a11a12?4．A??a21a22?a?31a32A．PA
a13??a113a12??a23?，B??a213a22?aa33??313a32?
B．AP a13??100??100?????? a23?，P??030?，Q??310?，则B?（ B ）
?001??001?a33?????? C．QA D．AQ
?a11?AP??a21?a?31a12a22a32a13??100??a113a12????a23??030???a213a22???a33???001??a313a32a13??a23??B． a33??5．已知A是一个3?4矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A．若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩(A)=2 B．若A中存在2阶子式不为0，则秩(A)=2 C．若秩(A)=2，则A中所有3阶子式都为0 D．若秩(A)=2，则A中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误的是（ C ） ．．A．只含有1个零向量的向量组线性相关
B．由3个2维向量组成的向量组线性相关
C．由1个非零向量组成的向量组线性相关 D．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组?1,?2,?3线性无关，?1,?2,?3,?线性相关，则（ D ） A．?1必能由?2,?3,?线性表出 C．?3必能由?1,?2,?线性表出
B．?2必能由?1,?3,?线性表出 D．?必能由?1,?2,?3线性表出
注：?1,?2,?3是?1,?2,?3,?的一个极大无关组． 8．设A为m?n矩阵，m?n，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ D ） A．小于m
B．等于m C．小于n D．等于n
注：方程组Ax=0有n个未知量． 9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ A ） A．AT
B．A2
C．A?1
D．A?
|?E?AT|?|(?E?A)T|?|?E?A|，所以A与AT有相同的特征值． 22210．二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2的正惯性指数为（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
222，正惯性指数为2． f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?x3?y1?y2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．行列式
20072008的值为_____________．
20092010200720082000200078????2． 2009201020002000910?1?13??20?T???AB?_____________． 12．设矩阵A??，，则B??201??01??????12??22?????20???ATB???10????20??． ?01???61??31??????13．设??(3,?1,0,2)T，??(3,1,?1,4)T，若向量?满足2????3?，则??__________．
??3??2??(9,3,?3,12)T?(6,?2,0,4)T?(3,5,?3,8)T． 14．设A为n阶可逆矩阵，且|A|??1，则||A?1|?_____________． n|A?1|?1??n． |A|15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|?_____________．
n个方程、n个未知量的Ax=0有非零解，则|A|?0． ?x1?x2?x3?016．齐次线性方程组?的基础解系所含解向量的个数为_____________．
2x?x?3x?023?1?111??111?A???2?13?????0?31??，基础解系所含解向量的个数为n?r?3?2?1． ?????1?17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是?3，则矩阵?A2?必有一个特征值为_________．
?3??1111?1?A有特征值?3，则A2有特征值(?3)2?3，?A2?有特征值． 333?3??1?2?2???18．设矩阵A???2x0?的特征值为4,1,?2，则数x?_____________．
??200???由1?x?0?4?1?2，得x?2． ?1?a1/2?b19．已知A??1/2??00?0??0?是正交矩阵，则a?b?_____________． ?1??12(a?b)?0，得a?b?0． 由第1、2列正交，即它们的内积20．二次型f(x1,x2,x3)??4x1x2?2x1x3?6x2x3的矩阵是_____________．
?0?21????203??． ?130???三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
a21．计算行列式D?a2a?a3a解：D?a2a?a3bb2b?b3bb2b?b3cc2的值． c?c3bb2b3c1c2?abcac3a21bb21c c2cac2?a2c?c3a311?abc0b?a0b2?a2?abc(b?a)(c?a)
1b?ac?a?abc2b?a222c?ac?a
c2?a211?abc(b?a)(c?a)(c?b)．
b?ac?a22．已知矩阵B?(2,1,3)，C?(1,2,3)，求（1）A?BTC；（2）A2．
?2??246?????T解：（1）A?BC??1?(1,2,3)??123?；
?3??369??????2???（2）注意到CBT?(1,2,3)?1??13，所以
?3????246???
A2?(BTC)(BTC)?BT(CBT)C?13BTC?13A?13?123?．
?369???
23．设向量组?1?(2,1,3,1)T,?2?(1,2,0,1)T,?3?(?1,1,?3,0)T,?4?(1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．
?2??1解：A?(?1,?2,?3,?4)??3??1??1??0??0??0?11001?11??1??211??1??0?31?3???2101???010010210?31?11?01??11???1?0110?? ????10?3?3?2??????1??0?1?1?1?1??0?，向量组的秩为3，?1,?2,?4是1??0??01??11??10??01??000?2????000?1???1??10?1??0??011??0001????0000???一个极大无关组，?3???1??2．
?123???14?????24．已知矩阵A??012?，B??2（1）求A?1；（2）解矩阵方程AX?B． 5?．
?001??1?3??????123100??12010?3?????解：（1）(A,E)??012010???01001?2?
?001001??001001??????1?21??1001?21??????1??01001?2?，A??01?2?；
?00?001001?1??????1?21???14???4?9???????（2）X?A?1B??01?2??25???011?．
?00????1????1?3??1?3??x1?2x2?3x3?4?25．问a为何值时，线性方程组?2x2?ax3?2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出
?2x?2x?3x?623?1其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．
解：
34?34??1234??12?12??????a2?． (A,b)??02a2???02a2???02?00a?30??2236??0?2?3?2???????
历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答
