立体图形思维训练
教学目标
立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。 ★★★ 正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么可得：
2正方体的表面积：S正方形?6a 3正方体的体积：V正方形?a
★★★ 长方体：若长方体的长、宽、高分别为a,b,c，那么可得：
2ab?bc?ac）长方体的表面积：S长方形?（
长方体的体积：V长方形?abc
★★★ 圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r；圆柱体的侧面展开图是一个
长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长； 圆柱体的表面积：S圆柱?侧面积?2个底面积?2?rh?2?r
2圆柱体的体积：V圆柱??rh
★★★ 圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r；圆锥体的侧面展开图是一个扇形；
圆锥体的体积：V圆锥体?★★★ 球体：V球体212?rh 34??r3 3r在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。 如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否 想正好装了一半水而争吵．请你设计一种方案，不用其他任何工具与 挑设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半． 战 吗 ？ 1
教师版答案提示：如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱A处，水平面
的另一端刚好在棱B处时，容器内正好装了一半水．如果不符合上述情况则容器内装的水就不是一半．如图②是容器里的水正好装一半，图①和图③则不是，图①大于一半，图③小于一半．
一·立体图形的表面积
1·边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？
2·有两个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有有一个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形直孔，如图，圆孔直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米?(??3.14)
3·右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？
4·用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米? （??3）
5·如图1是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和黑色的部分都是边长等于1的正方形．问：这个直三棱柱的体积是多少?
分析：如图2，这个直三棱柱是棱长为1的正方体沿一条对角线切割得到的直三棱柱体．正方体的体积是1，这个直三棱柱的体积是
2
正方体体积的一半，体积是
1． 2
6·一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？
7·如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是多少厘米？
8·一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.问这60块长方体表面积的和是多少平方米？
9·将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？
10·右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
11·右图是由27块小正方体构成的 3×3×3的正方体。如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的。这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？
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二·立体图形的体积
1·如图，一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次?
11????()2?1?，半321222??3球形容器乙的容积是：V2????1??8?，所以至少要注水8次．
3312分析：圆锥形容器甲的容积是：V1?2·一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的柱形容器中，水
面高多少厘米7．
3·如右图所示，圆锥形容器内装的水正好是它容积的
8，水面高度是容器高度的27几分之几？
4·皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有厘米？
4的体积浸在水中（见右图）。问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少5415??()3?562.5?（立方厘米）；皮球浸在水中的部324602分是：562.5???450?（立方厘米）；水桶的底面积是：??()?900?（平方厘米）；水面升
52高的高度是：450??900??0.5（厘米）。
分析：皮球的体积是：?r?3435·一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米。现将一
个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。现在水深多少厘米?
6·有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中。钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米。这段钢材有多长?
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分析： 根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的
511，即，钢材底面就是水桶底面积的。根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，2016452)=96(厘米) 20钢材的长是水面下降高度的16倍。 （法1）：6÷(
（法2）：3.14×202×6÷(3.14×52)=96(厘米)
7·一个立体图形，我们从上到下，从前往后，从左到右观察都是相同的图形，是一个边长为3厘米分成9个面积相等的小正方形形成的井字形(如右图)．计算该立体的全表面积和体积．
分析：根据三视图，可以判定立体是一个棱长为3厘米的正方体，在每个面都在中央打一个底面积为1平方厘米的正方形，高为3厘米．的正棱柱孔洞．如右下图．
设该立体的全表面积为S，体积为V则：
S?(32?12)?6?(12?4)?6?72(平方厘米)，
V?32?7?13?20(立方厘米)．
8·在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．
9·如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．
分析：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-?×22×2=536-8? 内侧表面积为：16×4×3+2×(4×4-?×22)+2×2?×2×3=192+32-8?+24?=224+16?． 总表面积=224+16?+536-8?=760+8?=785.12(平方厘米)．
计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可．挖出的几何体体积为： 4×4×4×3+4×4×4+2×?×22×3=192+64+24?=256+24?．
所求几何体体积为：1O×1O×1O- (256+24?)=668.64(立方厘米)．
[点评] 能把这道题拿下，所有不规则形体的表面积和体积计算都将不在话下。一定要注意：思路要清晰，
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立体图形思维培优
