6-1-9.鸡兔同笼问题（二）
教学目标
1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.
2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．
知识精讲
一、鸡兔同笼
这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47?35?12（只）．显然，鸡的只数就是35?12?23（只）了．
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．
假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
如果假设全是兔，那么则有：数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍
在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法
例题精讲
两个量的“鸡兔同笼”问题——变例
【例 1】 某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对
了多少道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 做错(5?20?79 ) ?(5?2)?3 (道)，因此，做对的20?3?17 (道)． 【答案】17道
【巩固】 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了
60分，他做对了几道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法 【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题要
少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道．
【答案】15道
【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣2分.刘钢得了86分，问他做对了几道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题．假设刘钢20道题全对，可得分5?20?100（分），但他实际上只
得86分，少了100?86?14（分），因此他没做或做错了一些题．由于做对一道题得5分，没做或做错一道题倒扣2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少5?2?7（分）．14分中含有多少个7，就是刘钢没做或做错多少道题．所以，刘钢没做或做错题为14?7?2（道），做对题为20?2?18（道）．
【答案】18道
【巩固】 某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得6分，每做错一题倒扣2分。小红最终得44分，做
对的题比做错的题多______道。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第8题，假设思想方法 【解析】 ?60?44??8?2，做错2道题，做对8道题，对的比错的多6道。 【答案】多6道
【巩固】 次数学竞赛有10道试题，若小宇得70分，根据图5中两人的对话可知小宇答对_________题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第12题 【解析】 设答对了x道题，那么10x?5?(10?x)?70，所以x?8，也就是小宇答对了8道题。 【答案】8题
【巩固】 一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得92分，小华在此
次比赛中答错了________ 道题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第12题 【解析】 假设他全答对了，应该的18×8=144分，实际上少了144-92=52分，每答错一道题少8+5=13分，答
错了52÷13=4道题。
【答案】4题
【例 2】 某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：工作一天可得报酬48元，休息一天则要从所得报酬中
扣掉12元。该工人合同到期后并没有拿到报酬，则他最多工作了_________天。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第5题 【解析】 方法一：假设他没有休息他会得30?48=1440（元），休息一天会少48?12=60（元），所以他休息
了1440?60=24（天），他工作了30?24=6天
方法二：工作一天休息4天刚好抵消，那么最后没拿到钱，他只工作了30÷(4+1)=6天。
【答案】6天
【例 3】 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学
都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____
道题.
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】假设思想方法 【解析】 三人共得87?74?9?170(分)，比满分10?10?3?300(分)少300?170?130(分)
因此三个人共做错：130?(10?3)?10(道)题，共答对了30?10?20(道)题
【答案】20
【例 4】 张明、李华两人进行射击比赛，规定每射中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各射了10发，共
得208分，其中张明比李华多64分，则张明射中___________发。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 张明得分（208＋64）?2＝136分，根据鸡兔同笼，
张明脱靶（20×10－136）?（20＋12）＝2，射中8发。
【答案】8发
【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛，两人商定，对一题得20分，不答或答错一题扣12分。两人
各解答了10道题，一共得208分，又知道小明比小刚多得64分。那么小刚做对了 道题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初试，10题 【解析】 小刚得了?208?64??2?72（分）,如果小刚10道题都做对了，应得200分，实际得72分，所以错
了?200?72???20?12??4（道），做对了10?4?6（道）。
【答案】6道
【巩固】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分；第二次15道
题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 法一：如果小明第一次测验24题全对，得5?24?120(分).那么第二次只做对30?24?6(题)得分是
8?6?2?(15?6)?30(分).两次相差120?30?90(分).比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5?1?6(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8?2?10分.两者两差数就可减少
(分6?1?016).(90?10)?(6?10)?5(题).因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第
一次答对19题，第二次答对30?19?11(题).第一次得分5?19?1?(24?9)?90.第二次得分8?11?2?(15?11)?80.
法二：答对30题，也就是两次共答错24?15?30?9(题).第一次答错一题，要从满分中扣去
5?1?6(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去8?2?10(分).答错题互换一下，两次得分要相差
要从满分中扣去6?9.但两次满分都是120分.比题目中条6?10?16 (分).如果答错9题都是第一次，
件“第一次得分多10分”，要少了6?9?10.
因此，第二次答错题数是(6?9?10)?(6?10)?4(题).第一次答错9?4?5(题). 第一次得分5?(24?5)?1?5?90(分).第二次得分8?(15?4)?2?4?80 (分).
【答案】第一次得分90分.第二次得分80分.
【例 5】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如
果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 每个三口之家可以少花30?40?40?32?3?14（元），每个二口之家可以少花40?40?64?16（元），
如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14?8?112（元），所以这8个家庭中有
家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4?2?． （120?112）?（16?）14?（个）4（8?4）?3?20（人）
【答案】20人
【例 6】 一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分．若
小明得了78分，那么他做对 题，做错 题，没做 题．
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】假设思想方法，祖冲之杯 【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索． 小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分．
78?4?19，所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于4?19?76(分)；
再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有4?21?1?4?80(分)，超过了78分，所以
小明至多做对20道题目；
综上，可以断定小明做对了20道题． 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题．
假设剩下5题全部没做，那么小明应得4?20?80(分)．
但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做． 所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题． 【答案】对了20道题，做错了2道题，没做3道题
【例 7】 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆．已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，
那么这批钢材有多少吨？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨．利用假设法，假设只用36辆
小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4?36?144 (吨)．根据条件，要装完这144吨钢材还需要45?36?9(辆)小卡车．这样每辆小卡车能装144?9?16(吨)．由此可求出这批钢材有720吨．
【答案】720吨
【例 8】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！” 售货员：“同学，你好．想买点什
么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本．”售货员：“好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好．再见．”根据这段对话，则钢笔每支是 元，笔记本每本是 元．
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第14题 【解析】 一共花了100?5?95元。如果是买25本笔记本可以少花10?2?20元，即75元。所以每本笔记本3元，
每支钢笔5元
【答案】5元
【例 9】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票
各买了多少张
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(张),
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70(张).
解二:譬如,假设有20张4分,根据条件\分比4分多40张\那么应有60张8分.以\分\作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持\差\是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张). 因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
【答案】4分有30张,8分有70张.
【例 10】 喜羊羊的存钱罐中只有5角和1元的硬币共100枚，其中5角的硬币比1元的硬币多20元，喜羊羊的存钱罐中总共有________钱。
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第3题 【解析】 60元。20?0.5?40枚，?100?40??3?20枚，20??100?20??0.5?60元。
【答案】60元
【例 11】 小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2
分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3
分，所以5分币有84?，2分币有28?22?50（个），5?28?2?50?1?36? （5?2）?28（个）
． 140?100?36?276（分）
【答案】276分
【例 12】 现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油
20千克，问大小桶各多少个?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 方法一：假设50个油桶都是大桶，则共装油(4?50)?200千克，而这小桶所装油则为0．这样大桶
比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了(200?80)?180千克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少(4?2)?6千克，所以小桶有：180?6?30(个)，大桶有：50?30?20(个).
方法二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，大桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各20?(4?2)?10个，现在共有50个桶，在剩下的(50?10?2)?30个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的(4?2)?2倍，那么在这30个桶中，应该有[30?(1?2)]?10个大桶，(30?10)?20个小桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个．
解：20?(4?2)?10(个)
(50?10?2)?(1?2)?10(个) (大桶) 10?10?20(个) (大桶共有) 50?20?30(个) (小桶共有)
【答案】大桶20个，小桶30个
【例 13】 大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃．猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一
只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克．一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃．在这个猴群中，共有小猴子多少只？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔．但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消
失．一天中，猴王监视了2小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采12千克，那样猴群只能采摘4400?35?2?12?3560(千克)；这是一天也就是8小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采3560?8?445(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘15?35?525(千克)，比实际多采了525?445?80(千克)．而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15?11?4(千克)．因此可以求出小猴子有：80?4?20(只)．
【答案】20只
【例 14】 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟
的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的
年龄看作\鸡\头数,弟的年龄看作\兔\头数.25是\总头数\是\总脚数\根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的
年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年.
【答案】2003年
【例 15】 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有
事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打
30÷10=3(份). 现在把甲打字的时间看成\兔\头数,乙打字的时间看成\鸡\头数,总头数是7.\兔\的脚数是5,\鸡\的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成\鸡兔同笼\问题了. 根据前面的公式\兔\数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, \鸡\数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
【答案】4.5小时
【例 16】 箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只
红球．如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球．那么箱子里原有红球多少只？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球数
应该刚好是白球数的3倍多2．由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3个．按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即3?3?2?11(只)．但是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以可以知道一共取了42?6?7(次)．所以可以知道原来有红球7?15?53?158(只)．
【答案】158只
【例 17】 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是2∶5。问：摩托车
的辆数与小卧车的辆数之比是多少？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第10题 【解析】 车库中，平均每2辆车有5个轮子，也就是说，平均每4辆车有10个轮子。简单的试凑可以知道，
1辆小卧车和3辆摩托车恰好有10个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为3∶1 【答案】3:1
小学奥数教程：鸡兔同笼问题（二）全国通用（含答案）
