6-1-9.鸡兔同笼问题(二)
教学目标
1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.
2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象.
知识精讲
一、鸡兔同笼
这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?
你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗? 二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47?35?12(只).显然,鸡的只数就是35?12?23(只)了.
这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”.
假设法顺口溜:鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是:
如果假设全是兔,那么则有:数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数) 兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡,那么就有:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数) 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时,脚的关系:兔子是鸡的2倍 当脚数一样时,头的关系:鸡是兔子的2倍
在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法
例题精讲
两个量的“鸡兔同笼”问题——变例
【例 1】 某次数学竞赛,共有20道题,每道题做对得5分,没做或做错都要扣2分,小聪得了79分,他做对
了多少道题?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 做错(5?20?79 ) ?(5?2)?3 (道),因此,做对的20?3?17 (道). 【答案】17道
【巩固】 数学竞赛共有20道题,规定做对一道得5分,做错或不做倒扣3分,赵天在这次数学竞赛中得了
60分,他做对了几道题?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法 【解析】 假设他将所有题全部做对了,则可得100分,实际上只得了60分,比假设少了40分,做错一题要
少得8分,少得的40分中,有多少个8分,就是他做错的题的数量,则知他做对了15道.
【答案】15道
【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛,共20道试题.做对一题得5分,没有做一题或做错一题都要倒扣2分.刘钢得了86分,问他做对了几道题?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题.假设刘钢20道题全对,可得分5?20?100(分),但他实际上只
得86分,少了100?86?14(分),因此他没做或做错了一些题.由于做对一道题得5分,没做或做错一道题倒扣2分,所以没做或做错一道题比做对一道题要少5?2?7(分).14分中含有多少个7,就是刘钢没做或做错多少道题.所以,刘钢没做或做错题为14?7?2(道),做对题为20?2?18(道).
【答案】18道
【巩固】 某次数学竞赛,试题共有10道,每做对一题得6分,每做错一题倒扣2分。小红最终得44分,做
对的题比做错的题多______道。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,3年级,第8题,假设思想方法 【解析】 ?60?44??8?2,做错2道题,做对8道题,对的比错的多6道。 【答案】多6道
【巩固】 次数学竞赛有10道试题,若小宇得70分,根据图5中两人的对话可知小宇答对_________题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,一试,第12题 【解析】 设答对了x道题,那么10x?5?(10?x)?70,所以x?8,也就是小宇答对了8道题。 【答案】8题
【巩固】 一次口算比赛,规定:答对一题得8分,答错一题扣5分。小华答了18道题,得92分,小华在此
次比赛中答错了________ 道题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第12题 【解析】 假设他全答对了,应该的18×8=144分,实际上少了144-92=52分,每答错一道题少8+5=13分,答
错了52÷13=4道题。
【答案】4题
【例 2】 某工人与老板签订了一份30天的劳务合同:工作一天可得报酬48元,休息一天则要从所得报酬中
扣掉12元。该工人合同到期后并没有拿到报酬,则他最多工作了_________天。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第5题 【解析】 方法一:假设他没有休息他会得30?48=1440(元),休息一天会少48?12=60(元),所以他休息
了1440?60=24(天),他工作了30?24=6天
方法二:工作一天休息4天刚好抵消,那么最后没拿到钱,他只工作了30÷(4+1)=6天。
【答案】6天
【例 3】 春风小学3名云参加数学竞赛,共10道题,答对一道题得10分,答错一道题扣3分,这3名同学
都回答了所有的题,小明得了87分,小红得了74分,小华得了9分,他们三人一共答对了_____
道题.
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】假设思想方法 【解析】 三人共得87?74?9?170(分),比满分10?10?3?300(分)少300?170?130(分)
因此三个人共做错:130?(10?3)?10(道)题,共答对了30?10?20(道)题
【答案】20
【例 4】 张明、李华两人进行射击比赛,规定每射中一发得20分,脱靶一发扣12分,两人各射了10发,共
得208分,其中张明比李华多64分,则张明射中___________发。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4年级,1试 【解析】 张明得分(208+64)?2=136分,根据鸡兔同笼,
张明脱靶(20×10-136)?(20+12)=2,射中8发。
【答案】8发
【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛,两人商定,对一题得20分,不答或答错一题扣12分。两人
各解答了10道题,一共得208分,又知道小明比小刚多得64分。那么小刚做对了 道题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,初试,10题 【解析】 小刚得了?208?64??2?72(分),如果小刚10道题都做对了,应得200分,实际得72分,所以错
了?200?72???20?12??4(道),做对了10?4?6(道)。
【答案】6道
【巩固】 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道
题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 法一:如果小明第一次测验24题全对,得5?24?120(分).那么第二次只做对30?24?6(题)得分是
8?6?2?(15?6)?30(分).两次相差120?30?90(分).比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5?1?6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8?2?10分.两者两差数就可减少
(分6?1?016).(90?10)?(6?10)?5(题).因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第
一次答对19题,第二次答对30?19?11(题).第一次得分5?19?1?(24?9)?90.第二次得分8?11?2?(15?11)?80.
法二:答对30题,也就是两次共答错24?15?30?9(题).第一次答错一题,要从满分中扣去
5?1?6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8?2?10(分).答错题互换一下,两次得分要相差
要从满分中扣去6?9.但两次满分都是120分.比题目中条6?10?16 (分).如果答错9题都是第一次,
件“第一次得分多10分”,要少了6?9?10.
因此,第二次答错题数是(6?9?10)?(6?10)?4(题).第一次答错9?4?5(题). 第一次得分5?(24?5)?1?5?90(分).第二次得分8?(15?4)?2?4?80 (分).
【答案】第一次得分90分.第二次得分80分.
【例 5】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖,儿童票的价格为30元,成人票的价格为40元,如
果是团体还可以买平均32元一位的团体票,一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人,或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游,如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元,问这个旅游团一共有多少人?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 每个三口之家可以少花30?40?40?32?3?14(元),每个二口之家可以少花40?40?64?16(元),
如果这8个家庭都是三口之家,那么一共少花14?8?112(元),所以这8个家庭中有
家庭是二口之家,所以这个旅游团一共有4?2?. (120?112)?(16?)14?(个)4(8?4)?3?20(人)
【答案】20人
【例 6】 一张数学试卷,只有25道选择题.做对一题得4分,做错一题倒扣1分;如不做,不得分也不扣分.若
小明得了78分,那么他做对 题,做错 题,没做 题.
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】假设思想方法,祖冲之杯 【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题,需要寻找一些特殊的线索. 小明得了78分,而且只有做对了题目才能得分.
78?4?19,所以可以知道小明至少做对20道题目,否则一定低于4?19?76(分);
再假设他做对21题,发现即使另外四题都错,小明仍然有4?21?1?4?80(分),超过了78分,所以
小明至多做对20道题目;
综上,可以断定小明做对了20道题. 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题.
假设剩下5题全部没做,那么小明应得4?20?80(分).
但是只得了78分,说明又倒扣了2分,说明错了2道题,3道题没做. 所以小明做对了20道题,做错了2道题,没做3道题. 【答案】对了20道题,做错了2道题,没做3道题
【例 7】 一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆.已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,
那么这批钢材有多少吨?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 要算出这批钢材有多少吨,需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨.利用假设法,假设只用36辆
小卡车来装载这批钢材,因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下4?36?144 (吨).根据条件,要装完这144吨钢材还需要45?36?9(辆)小卡车.这样每辆小卡车能装144?9?16(吨).由此可求出这批钢材有720吨.
【答案】720吨
【例 8】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话:小波:“阿姨,您好!” 售货员:“同学,你好.想买点什
么?”小波:“我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.”售货员:“好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请拿好.再见.”根据这段对话,则钢笔每支是 元,笔记本每本是 元.
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,4年级,第14题 【解析】 一共花了100?5?95元。如果是买25本笔记本可以少花10?2?20元,即75元。所以每本笔记本3元,
每支钢笔5元
【答案】5元
【例 9】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票
各买了多少张
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(张),
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70(张).
解二:譬如,假设有20张4分,根据条件\分比4分多40张\那么应有60张8分.以\分\作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持\差\是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张). 因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
【答案】4分有30张,8分有70张.
【例 10】 喜羊羊的存钱罐中只有5角和1元的硬币共100枚,其中5角的硬币比1元的硬币多20元,喜羊羊的存钱罐中总共有________钱。
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯,4年级,第3题 【解析】 60元。20?0.5?40枚,?100?40??3?20枚,20??100?20??0.5?60元。
【答案】60元
【例 11】 小同有一个储蓄筒,存放的都是硬币,其中2分币比5分币多22个;按钱数算,5分币却比2
分币多4角;另外,还有36个1分币.小同共存了多少钱?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设去掉22个2分币,那么按钱数算,5分币比2分币多8角4分,一个5分币比一个2分币多3
分,所以5分币有84?,2分币有28?22?50(个),5?28?2?50?1?36? (5?2)?28(个)
. 140?100?36?276(分)
【答案】276分
【例 12】 现有大小油桶50个,每个大桶可装油4千克,每个小桶可装油2千克,大桶比小桶共多装油
20千克,问大小桶各多少个?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 方法一:假设50个油桶都是大桶,则共装油(4?50)?200千克,而这小桶所装油则为0.这样大桶
比小桶多装200千克,比条件所给的差数多了(200?80)?180千克,若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶,则每拿一个大桶换成小桶,大桶装的油就减少4千克,而小桶共装的油就增加2千克,那么大桶比小桶多装的数量就减少(4?2)?6千克,所以小桶有:180?6?30(个),大桶有:50?30?20(个).
方法二:这道题也可以用另外一种假设;每个大桶比每个小桶多装2千克,如果大小桶同样多,大桶要比小桶共多装20千克,则应该大小桶各20?(4?2)?10个,现在共有50个桶,在剩下的(50?10?2)?30个桶中,大小桶应装同样多的油,而每个大桶装的油是每个小桶装的(4?2)?2倍,那么在这30个桶中,应该有[30?(1?2)]?10个大桶,(30?10)?20个小桶;所以可求出50个桶中,有大小桶各多少个.
解:20?(4?2)?10(个)
(50?10?2)?(1?2)?10(个) (大桶) 10?10?20(个) (大桶共有) 50?20?30(个) (小桶共有)
【答案】大桶20个,小桶30个
【例 13】 大、小猴共35只,它们一起去采摘水蜜桃.猴王不在时,一只大猴一个小时可采摘15千克,一
只小猴子一小时可摘11千克;猴王在场监督的时候,每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克.一天,采摘了8小时,其中第一小时和最后一小时猴王在监督,结果共采摘了4400千克水蜜桃.在这个猴群中,共有小猴子多少只?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔.但是却有猴王来捣乱,所以我们先让猴王消
失.一天中,猴王监视了2小时,假设猴王一直都不在,同猴王在时相比,每只猴子每小时都会少采12千克,那样猴群只能采摘4400?35?2?12?3560(千克);这是一天也就是8小时的工作量,据此可以求出这群猴每小时采3560?8?445(千克);假设都是大猴子,应该每小时采摘15?35?525(千克),比实际多采了525?445?80(千克).而每只小猴子被假设成大猴子,会多采15?11?4(千克).因此可以求出小猴子有:80?4?20(只).
【答案】20只
【例 14】 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟
的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的
年龄看作\鸡\头数,弟的年龄看作\兔\头数.25是\总头数\是\总脚数\根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的
年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年.
【答案】2003年
【例 15】 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有
事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打
30÷10=3(份). 现在把甲打字的时间看成\兔\头数,乙打字的时间看成\鸡\头数,总头数是7.\兔\的脚数是5,\鸡\的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成\鸡兔同笼\问题了. 根据前面的公式\兔\数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, \鸡\数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
【答案】4.5小时
【例 16】 箱子里红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2只,每次从箱子里取出7只白球、15只
红球.如果经过若干次以后,箱子里剩下3只白球、53只红球.那么箱子里原有红球多少只?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设每次一起取7只白球和21只红球,由于每次拿得红球都是白球的3倍,所以最后剩下的红球数
应该刚好是白球数的3倍多2.由于每次取的白球和原定的一样多,所以最后剩下的白球应该不变,仍然是3个.按照我们的假设,剩下的红球应该是白球的3倍多2,即3?3?2?11(只).但是实际上最后剩了53只红球,比假设多剩42只,因为每一次实际取得与假设相比少6只,所以可以知道一共取了42?6?7(次).所以可以知道原来有红球7?15?53?158(只).
【答案】158只
【例 17】 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数之比是2∶5。问:摩托车
的辆数与小卧车的辆数之比是多少?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛,第10题 【解析】 车库中,平均每2辆车有5个轮子,也就是说,平均每4辆车有10个轮子。简单的试凑可以知道,
1辆小卧车和3辆摩托车恰好有10个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为3∶1 【答案】3:1
小学奥数教程:鸡兔同笼问题(二)全国通用(含答案)
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