江苏省无锡市江阴第一中学2024-2024学年
高一下学期期中考试数学试卷
一、填空题：（每题5分，共计70分）
1. 已知倾斜角为45°的直线经过点A(2m,3)，B(2,?3)，则m的值为 . 2. 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为 ．(填“平行”、“相交”、“异面”)
3. 在⊿ABC中，若sinA:sinB:sinC =3:5:7，则∠C等于 .
4. 若直线l与平面?不垂直，那么在平面?内与直线l垂直的直线 (填“只有一条”、“有无数条”、“是平面?内的所有直线”)
5. 若直线ax?by?1与圆x?y?1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是 . 6. 圆心在直线2x?y?0上，且与直线x?y?1相切于点(2,?1)的圆的标准方程为 . 7. 若线段AB的端点A,B到平面?的距离分别为2,4，则线段AB的中点M到平面?的距离为 .
8．在⊿ABC中，已知a=42,b?43,A?45?，则∠B= . 9. 在⊿ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2形状一定 是 .
10. 过点P(3,0)作直线l，使它被两条相交直线2x?y?2?0和x?y?3?0所截得的线 段恰好被点P平分，则直线l斜率为 . 11. 以下命题（其中a，b表示直线，?表示平面）
①若a//b,b??，则a//? ②若a//?，b//?，则a//b ③若a//b，b//?，则a//? ④若a//?，b??，则a//b 其中正确命题的个数是 .
12．若集合A?(x,y)|y?1?4?x,B??(x,y)|y?k(x?2)?4?. 当集合A?B中有
222Bc?a，则⊿ABC的?22c??2个元素时，实数k的取值范围是 .
13. 在平面直角坐标xoy中，已知圆C:?x?m?2?y2?1及点A(-1，0)，B(1，2)，若圆C上存在点P
使得PA2+PB2=12，则实数m的取值范围是 . 14. 设m?R，过定点A的动直线x?my?0和过定点B的动直线mx?y?m?2?0交于 点P(x,y)，则3PA?PB的最大值是 . 二、解答题： 15. (本小题满分12分)
已知直线l1:ax?by?1?0（a,b不同时为0），l2:(a?2)x?y?a?0. （1）若b?0，且l1?l2，求实数a的值；
（2）当b?3，且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离.
16．(本小题满分12分)
⊿ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
.
（1）求C；
（2）若
，的面积为，求的周长.
17. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l．
18. (本小题满分14分)
已知圆C:(x?3)2?(y?4)2?4，直线l1过定点 A (1，0)． （1）若l1与圆C相切，求l1的方程； （2）若l1的倾斜角为
?，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标； 4（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方 程.
19. (本小题满分14分)
某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形 区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.
DE?3BC?3CD?92??km，?BCD??CDE?,?BAE?.
3310
（1）求道路BE的长度；
（2）求生活区△ABE面积的最大值.
20.(本小题满分16分)
已知圆C：(x?1)?y?a(a?0)，定点A(m,0)，B(0,n)，其中m,n为正实数. （1）当a?m?n?3时，判断直线AB与圆C的位置关系；
（2）当a?4时，若对于圆C上任意一点P均有PA??PO成立(O为坐标原点)，求实数
22m,?的值；
（3）当m?2,n?4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围．
【参考答案】
一、填空题
1、4; 2、异面 ； 3、120o 4、有无数条； 5、点在圆外； 6、(x?1)?(y?2)?2； 9、直角三角形； 10、8；
227、3或1； 8、60o或120o；
11、0；
12、??53?,?； 124??13、[?22,22]； 14、25 二、解答题
15、（1）当时，，由知，解得. ......6分
（2）当时，，
当时，有， 解得， ....................................................9分
此时，的方程为：，的方程为：，即，
则它们之间的距离为。 ....................................................12分
16、(1)由，.........2分
即，因为，所以，
解得，又因为，所以...................................6分
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