浙江专用2021版新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数5第5讲指数与指数函数教学案

第5讲 指数与指数函数

1．根式 (1)根式的概念

①若x＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

n*

n?x＝na，当n为奇数且n∈N，n>1时，

x＝a??

?x＝±na，当n为偶数且n∈N时.

*

n*

(2)根式的性质

①(a)＝a(n∈N，且n>1)．

nn*

a，n为奇数，??nn?②a＝? ?a，a≥0，?|a|＝n为偶数.??－a，a<0，??

2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念

mnm*

①正分数指数幂：an＝a(a>0，m，n∈N，且n>1)；

②负分数指数幂：a－＝

mn1

man＝1

(a>0，m，n∈N，且n>1)；

*

nam③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aa＝arsrsr＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(a)＝a(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)＝ab(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象及性质

函数 图象 rrrrsy＝ax(a>0，且a≠1) 01 1

图象特征 定义域 值域 性质 单调性 函数值 变化 规律 4.指数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y＝a，y＝b，y＝

xx 在x轴上方，过定点(0，1) 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 R (0，＋∞) 减 当x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1； 当x>0时，00时，y>1 增 cx，y＝dx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．

作出直线x＝1，分别与四个图象自上而下交于点A(1，a)，B(1，

b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.

根据y轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(a)＝a.( ) 21

(2)(－1)4＝(－1)2＝－1.( ) (3)函数y＝a是R上的增函数．( )

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( ) (5)函数y＝2

mnx－1－xnnnn是指数函数．( )

(6)若a0，且a≠1)，则m

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× [教材衍化]

484

1．(必修1P59A组T4改编)化简16xy(x<0，y<0)＝________． 解析：因为x<0，y<0，所以2xy.

答案：－2xy

2

2

2

4

1111

842

16xy＝(16x·y)4＝(16)4·(x)4·(y)4＝2x|y|＝－

84

8

4

2．(必修1P55“思考”改编)函数y＝2与y＝2的图象关于________对称．

x－x?1?解析：作出y＝2与y＝2＝??的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称． ?2?

x－xx答案：y轴

3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝ax－2

＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．

解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)． 答案：(2，3) [易错纠偏]

(1)忽略n的范围导致式子nan(a∈R)化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4

＝________．

解析：3

（1＋2）3

＋4

（1－2）4

＝(1＋2)＋(2－1)＝22. 答案：22

2．若函数f(x)＝(a2

－3)·ax为指数函数，则a＝________． ?解析：由题意知?

0

??a2－3＝1，答案：2

3．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析：当a>1时，a＝2；当0

＝2， 即a＝1

2. 答案：2或1

2

1

4．函数y＝2x－1的值域为________． 解析：因为

1

x－1

≠0， 11

所以2x－1>0且2x－1≠1. 答案：(0，1)∪(1，＋∞)

3

指数幂的运算

化简下列各式：

1

0－?3??1?2－20.5

(1)?2?＋2·?2?－(0.01)； ?5??4?

11

1－1??25??－2

(2)a3·b·?－3a－b?÷?－32(a，b>0)．

2??4a3·b?6??

11

1?1?4?1211116?【解】 (1)原式＝1＋×??2－??2＝1＋×－＝1＋－＝.

4?9?431061015?100?1

51－3?2?(2)原式＝－a－b÷?－3?2 26?4a3·b?51－3?13?513

＝－a－b÷?a3b－?＝－a－·b－

464222??515ab＝－·＝－2.

44abab3

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．

化简下列各式：

1

2－27?3?7?0.5?(1)(0.027)3＋??－?2?； ?125??9?1

－13－1?2（4ab）?(2)??·. 1?4?

－13－3

（0.1）·（a·b）2

4

?125?解：(1)原式＝0.3＋??3－ ?27?

2

1

25 9

＝

9559＋－＝. 10033100

33316a2b－－1

2（4ab）228

(2)原式＝＝＝.

335

33

10a2b－10a2b－

22

指数函数的图象及应用

(1)函数f(x)＝2

1－x的大致图象为( )

(2)函数f(x)＝|a＋b|(a>0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的取值范围是________．

x

(3)若方程|3－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．

x?1?【解析】 (1)函数f(x)＝2＝2×??，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符

?2?

1－xx合要求．

1

(2)因为根据图象得a>1，f()＝0，b<0.

2所以a＋b＝0，所以a＋b＝a－a>1－1＝0.

(3)函数y＝|3－1|的图象是由函数y＝3的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．

【答案】 (1)A (2)(0，＋∞) (3){0}∪[1，＋∞)

应用指数函数图象的4个技巧

5

xxx