高中数学课时分层作业16空间向量的正交分解及其坐标表示（含
解析）新人教A版选修21
课时分层作业(十六) 空间向量的正交分解及其坐标表示
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题 1．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
→→→
③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底． 其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然→→→→→→→→→
②正确．③中由BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，知BA，BM，BN共面．又BA，BM，BN过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.]
→→
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝
λkμkb，A1A＝c，则B1M可表示为( )
11
A.a＋b＋c 2211
C．－a－b＋c
22
→→→→1→→
D [由于B1M＝B1B＋BM＝B1B＋(BA＋BC)
2
11
B.a－b＋c 2211
D．－a＋b＋c
22
→→
11
＝－a＋b＋c，故选D.]
22
→→3．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2
→→→→→
，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 C．x＝y＝z＝
2 2
1
B．x＝y＝z＝
2D．x＝y＝z＝2
→→→→A [AC′＝AA′＋AD＋AB
→1→→1→→1→
＝(AB＋AD)＋(AA′＋AD)＋(AA′＋AB) 222→→→1→1→1→
＝AC＋AD′＋AB′＝AO1＋AO3＋AO2， 222由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.]
→→→→→4．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB－→
OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是( )
→A.OA →C.OC
→B.OB →→D.OA或OB
→→
C [因为a－b＝2OC，所以a，b与OC共面，不能构成空间的一个基底．]
→1
5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则BE等于
4( )
?1?A.?0，，－1? ?4??1?B.?－，0，1? ?4?
1??C.?0，－，1?
4??
?1?D.?，0，－1? ?4?
→?1??3?C [由题图知B(1，1，0)，E?1，，1?，所以BE＝?0，－，1?.]
4??4??二、填空题
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
1 －1 [因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，1＝λx，??
于是有?－1＝λy，
??1＝λ，
??x＝1，解得?]
?y＝－1.?
→→→7．如图， 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝
c，则B1M＝________．
→
→→→11
－a＋b－c [B1M＝AM－AB1 22
→→1→→1→1→→11
＝(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－AB＋AD－AA1＝－a＋b－c.] 22222
8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图所示的空间直角坐标系，M，N分别→
是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，则MN的坐标为________．
?－1，0，1? [∵PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB， ?2
2????1?∴M?0，，0?，P(0，0，1)，C(－1，1，0)， ?2?
?111?则N?－，，?. ?222?
→?11?∴MN＝?－，0，?.]
2??2三、解答题
→→→→1→→1→
9．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，MA＝－AC，ND＝A1D，设AB＝a，AD＝b，AA1＝
33
c，试用a，b，c表示MN.
→
→→→
[解] 连接AN，则MN＝MA＋AN.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得 →→→
AC＝AB＋AD＝a＋b， →
MA＝－AC＝－(a＋b)，
→→→
又A1D＝AD－AA1＝b－c，
→→→→→→1→故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－A1D
31
＝b－(b－c)，
3
→→→11
所以MN＝MA＋AN＝－(a＋b)＋b－(b－c)
331
＝(－a＋b＋c)． 3
10．如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，
1→
313
PO＝1，M是PC的中点．设AB＝a，AD＝b，AP＝c.
→→→
→
(1)用向量a，b，c表示BM.
→
(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM的坐标．
→→→→→→1→→→→→→→
[解] (1)∵BM＝BC＋CM，BC＝AD，CM＝CP，CP＝AP－AC，AC＝AB＋AD，
2→→1→→→1→1→→1→1→1→111∴BM＝AD＋(AP－AC)＝AD＋AP－(AB＋AD)＝－AB＋AD＋AP＝－a＋b＋c.
222222222→→
(2)a＝AB＝(1，0，0)，b＝AD＝(0，1，0)．
→→→?11??11??11?∵A(0，0，0)，O?，，0?，P?，，1?，∴c＝AP＝OP－OA＝?，，1?，
?22??22??22?→111111?11??131?∴BM＝－a＋b＋c＝－(1，0，0)＋(0，1，0)＋?，，1?＝?－，，?.
222222?22??442?
[能力提升练]
→→→
1．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的是( )
→111A.OM＝OA＋OB＋OC
333→→→
B.MA＝MB＋MC →→→→C.OM＝OA＋OB＋OC →→→D.MA＝2MB－MC
→→→→→→
C [对于选项A，由OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面，知MA，MB，→
MC共面；对于选项B，D，易知MA，MB，MC共面，故选C.]
→→→
2．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{AB，AD，AA1}下的坐标为(2，1，－3)，→→→
则向量a在基底{DA，DC，DD1}下的坐标为( )
A．(2，1，－3) C．(1，－8，9)
B．(－1，2，－3) D．(－1，8，－9)
→→→
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