第6节 几何概型
最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.
知 识 梳 理
1.几何概型的定义
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝则称这种模型为几何概型. 2.几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 3.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度（面积或体积）P(A)＝. 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) 1
(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是10.( ) (3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(必修3P153B2改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小
G的概率G1的面积
，
G的面积
球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)3221
＝8，P(B)＝8，P(C)＝6，P(D)＝3，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B). 答案 A
3.(必修3P150讲解引申改编)如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为____________.
解析 由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S，由几何概型概率公S30
式可得4＝200，∴S＝0.6. 答案 0.6
4.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) 7A.10
5B.8
3C.8
3D.10 40－155
解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40＝8. 答案 B
5.(2018·渭南模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
1A.8 1B.6 1C.27 3D.8
解析 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.
1
这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p＝27. 答案 C
6.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A.p1＝p2 C.p2＝p3
B.p1＝p3 D.p1＝p2＋p3
解析 不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰπ×（2）21
的面积即△ABC的面积，为S1＝2×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－S1
2?2?
＝π－2.区域Ⅱ的面积为S2＝π·?2?－S3＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p1
??π－22
＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3.
π＋2π＋2答案 A
考点一 与长度(角度)有关的几何概型
【例1】 (1)(2019·宜春期末)在区间[－1，4]内任取一个实数a，使得关于x的方程x2＋2＝a有实数根的概率为( ) 2A.3
2B.5
3C.5
3D.4 2
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分︵
之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.
解析 (1)若方程x＋2＝a有实根，可知a－2≥0，即a≥2，那么p＝
2
4－24－（－1）
2＝5.
CB13π
(2)连接AC，如图所示tan∠CAB＝AB＝＝3，所以∠CAB＝6，满足条件的事
3件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，π
∠CAB61
所以所求事件的概率p＝＝＝.
∠DABπ3
2
1
答案 (1)B (2)3
规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.
1
2.(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求p＝2. (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.
【训练1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) 1A.3
1B.2
2C.3
3D.4
π
(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在6角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.
解析 (1)如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率p10＋101＝40＝2.
(2)因为射线OA在坐标系是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为p＝ππ2－612π＝6. 1
答案 (1)B (2)6
考点二 与面积有关的几何概型 角度1 与平面图形面积有关的问题
【例2－1】 (1)(2019·烟台诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
多维探究
2021年高考文科数学总复习(第十章 第6节)统计概率讲义
